加权和法

加权和法（weighted-sum method）把多个目标乘以非负权重后相加，形成一个标量目标。它常用于探索帕累托前沿，但权重的意义依赖目标单位，非凸问题的某些有效方案也可能永远选不到。

两个相互牵制的平方距离

设决策为 $x\in [0,2]$，同时希望最小化 $f_1(x)=x^2$ 和 $f_2(x)=(x-2{)}^2$。第一目标偏好零，第二目标偏好二。取 $w_1,w_2\ge 0$、$w_1+w_2>0$，标量目标为 $$J(x)=w_1{x}^2+w_2(x-2{)}^2=(w_1+w_2){(x-\frac{2w_2}{w_1+w_2})}^2+\frac{4w_1{w}_2}{w_1+w_2}.$$ 平方中心总在区间内，故唯一最优点为 $x^{\ast }=2w_2/(w_1+w_2)$。这也证明把所有权重同乘一个正数不改变最优点，通常可归一化为权重和等于一。

令 $w_1=w,w_2=1-w$。当 $w=1/4$，最优点为 $x=3/2$，目标向量为 $(9/4,1/4)$；等权时得到 $x=1$ 和 $(1,1)$。有解变式取 $w=3/4$，得到 $x=1/2$ 和 $(1/4,9/4)$。权重增加使被重视的第一目标变小，但两目标值的比例不等于权重的反比。

w为第一目标的权重，三点对应w为0.75、0.5、0.25；连线来自同一连续可行决策。

这整个区间都是帕累托有效的：若 $x^{\prime }<x$，第一平方变小而第二平方变大；若 $x^{\prime }>x$，变化方向相反。移动权重在本例中能遍历整条前沿，但这一性质需要另作论证，不能由加权定义直接推出。

正权重为何给出有效解

一般地，在非空可行集 $X$ 上最小化目标向量 $(f_1,\dots ,f_m)$，各 $f_i$ 为实值函数。给定所有分量严格为正的权重，假定标量问题确有全局最小点 $x^{\ast }$。若存在 $y\in X$ 使所有 $f_i(y)\le f_i(x^{\ast })$，且至少一个严格小于，乘以正权重相加便得 $\sum _i{w}_i{f}_i(y)<\sum _i{w}_i{f}_i(x^{\ast })$，与全局最小矛盾。因此 $x^{\ast }$ 帕累托有效。这一充分性不要求目标或可行集凸。

如果只要求权重非负且不全为零，同一证明只排除所有目标都严格改善的方案，因而保证的是弱有效。反例：可行目标只有 $(0,1)$、$(0,2)$，用权重 $(1,0)$ 时两者都最优，后者却被前者支配。原问题无最小点时，加权也不会凭空提供解；对非凸目标仅求得局部最小，更不能使用上述全局证明。

选不到的前沿成员

考虑只有三个可行目标向量的另一个问题：$A=(0,3),M=(2,2),B=(3,0)$，两个目标均取小为好。三者都非支配；以 $(w,1-w)$ 加权，三者分数分别为 $3(1-w),2,3w$。对任意 $w\in [0,1]$，至少一个端点分数不超过 $3/2$，因此M永远不可能最优。

虚线仅连接两个端点用于比较，线段内部并未列为可行方案；任意权重下至少一个端点优于M。

这类非支配而不能由线性加权支持的目标称为非支持有效目标。三点间的线段在此问题中不可行，不能擅自把它们当成混合决策。对凸问题，有效点可在适当条件下由非负权重支持；该结论仍不能保证每个有效点都对应严格正权重，或每组权重只产生一个解。希望在非凸前沿上覆盖更多方案时，可以把一部分目标变成带阈值的约束，再改变阈值。

单位改变与可运行比较

若第一目标的数值单位变大一百倍，仍用原权重，实际目标变成 $100w_1{x}^2+w_2(x-2{)}^2$，解为 $2w_2/(100w_1+w_2)$。例如等权时由一变成 $2/101$。为了表示相同偏好，需相应反向调整权重或说明使用的尺度；归一化本身也是建模选择，不能从数据自动推出决策者偏好。

下面使用 Python 3 标准库，按配方公式求连续主例，并逐一比较三点模型；返回点、两个目标值及分数，不改写传入点集。连续公式成本为常数；S个给定目标向量的比较为 $O(S)$ 时间和 $O(S)$ 返回表空间。程序只解决正文模型，没有把有限枚举当成一般多目标求解器。

Python 3

import math

def quadratic_weighted(w1, w2, scale1=1.0):
    if not all(math.isfinite(v) for v in (w1,w2,scale1)):
        raise ValueError("finite inputs required")
    if min(w1,w2) < 0 or w1+w2 <= 0 or scale1 <= 0:
        raise ValueError("nonnegative nonzero weights and positive scale required")
    x = 2*w2/(scale1*w1+w2)
    return x,(x*x,(x-2)**2)

def finite_weighted(points, w):
    if not 0 <= w <= 1:
        raise ValueError("weight must lie in [0,1]")
    table = [(tuple(p),w*p[0]+(1-w)*p[1]) for p in points]
    if not table:
        raise ValueError("nonempty point collection required")
    best = min(v for _,v in table)
    return [p for p,v in table if v == best],table

for w in (.25,.5,.75):
    print("continuous",w,quadratic_weighted(w,1-w))
    print("finite",w,finite_weighted([(0,3),(2,2),(3,0)],w))
print("rescaled",quadratic_weighted(.5,.5,100))
assert math.isclose(quadratic_weighted(.5,.5,100)[0],2/101)

输出三个连续解为1.5、1、0.5；三点模型在权重0.25、0.5、0.75时依次选择B、A与B并列、A，始终不会选择M。两目标方向必须先统一；若一个需要最大化，应先明确取负或另作一致变换。