动量守恒定律

动量是 $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$，质量乘速度，单位为 $\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{m}/\mathrm{s}$。它带方向。动量守恒定律说：对一个选定系统，若研究时段内合外力的冲量为零，则总动量初末相同。碰撞尤其适合用它分析，因为物体间的相互作用力虽大，却在整个系统内成对抵消。

从冲量看碰撞

对质量不变的单个物体，$\overrightarrow{F}=d\overrightarrow{p}/dt$；一段时间的冲量是 $\overrightarrow{J}=\int \overrightarrow{F}dt=\Delta \overrightarrow{p}$。对两辆车 A、B 组成的系统，两车间接触力满足 ${\overrightarrow{F}}_{AB}=-{\overrightarrow{F}}_{BA}$，所以相加时内部冲量抵消，只留下外部冲量： $$\Delta ({\overrightarrow{p}}_A+{\overrightarrow{p}}_B)=\int ({\overrightarrow{F}}_{A,\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}+{\overrightarrow{F}}_{B,\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}})dt.$$ 若碰撞时间很短、轨道外力在这段时间造成的冲量可忽略，就可以令右侧近似为零。这里的条件是外力冲量小，不必要求每个瞬间外力都绝对为零。

两车黏在一起

在一维光滑轨道上，$2\mathrm{k}\mathrm{g}$ 小车以 $+3\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 行驶，$1\mathrm{k}\mathrm{g}$ 小车以 $-1\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 迎面而来。碰后黏在一起，设共同速度为 $V$。碰前总动量为 $2\times 3+1\times (-1)=5\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{m}/\mathrm{s}$，故 $(2+1)V=5$，得 $V=5/3\mathrm{m}/\mathrm{s}$，方向向右。

箭头长度和标注反映速度方向；按带符号动量相加，而非直接把速率相加。

碰前动能为 $\frac{1}{2}(2)3^2+\frac{1}{2}(1)1^2=9.5\mathrm{J}$，碰后动能为 $\frac{1}{2}(3)(5/3{)}^2=25/6\mathrm{J}$，少了 $16/3\mathrm{J}$。这部分机械能转入形变、热和声；动量守恒不推出动能守恒。若两车受到一个不可忽略的外部碰撞或制动冲量，必须把它加到方程右侧。

例如同样两车的碰撞期间，若轨道还对整体施加向右 $1.0\mathrm{N}\mathrm{s}$ 的净冲量，末总动量将是 $5+1=6\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{m}/\mathrm{s}$。假如两车依然黏合，共同速度便是 $6/3=2.0\mathrm{m}/\mathrm{s}$，不能沿用原来的 $5/3$。观察对象如果只选其中一辆车，另一车的接触力就是外力；“内力抵消”只有在把两辆车一起选为系统时才成立。

参考资料

• OpenStax《University Physics》9.2，冲量与动量变化。
• OpenStax《University Physics》9.3，系统总动量守恒。