半正定矩阵

半正定矩阵（positive semidefinite matrix）在实数情形通常指满足 $$x^{𝖳}Ax\ge 0\text{对每个 }x\in {ℝ}^n$$ 的实对称矩阵 $A$，记为 $A⪰0$。复数情形要求 $A=A^{\ast }$，并以 $x^{\ast }Ax\ge 0$ 定义。若对每个非零 $x$ 不等式都严格成立，就称正定。半正定允许非零方向的二次型为零。

例如 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ 给出 $x^{𝖳}Ax=(x_1+x_2{)}^2\ge 0$，所以半正定；但取 $x=(1,-1{)}^{𝖳}$ 得到零，因此不正定。这里检查的是二次型对所有向量的值，而不是要求矩阵每个元素都非负。

特征值与平方范数的等价刻画

对实对称矩阵，以下条件等价：二次型处处非负；全部特征值非负；存在某个实矩阵 $B$ 使 $A=B^{𝖳}B$。

由谱定理可写 $A=Q\Lambda Q^{𝖳}$，其中 $Q$ 正交，$\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$。令 $y=Q^{𝖳}x$，得到 $$x^{𝖳}Ax=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i^2.$$ 若所有特征值非负，和式就非负；若某个 ${\lambda }_j<0$，取 $x=Q{e}_j$ 就得到负值，违反半正定性。这证明前两者等价。

当 ${\lambda }_i\ge 0$ 时，令 $B={\Lambda }^{1/2}{Q}^{𝖳}$，直接相乘有 $B^{𝖳}B=A$。反向若有这种因子，则 $x^{𝖳}Ax=\Vert Bx{\Vert }_2^2\ge 0$。这些步骤也给出正半定平方根 $A^{1/2}=Q{\Lambda }^{1/2}{Q}^{𝖳}$。

原例特征方向为 $(1,1)$ 与 $(1,-1)$，特征值分别为二和零。沿前一方向有正的二次型，沿后一方向完全平坦。

二次型只取决于两个坐标的和；沿零方向移动不会改变它。

图中的每条等值线都平行于核空间方向。固定 $x_1+x_2=c$ 后，二次型为 $c^2$；因此两条标记为一的线对应 $c=\pm 1$，标记为四的对应 $c=\pm 2$。图没有把这些无界直线误画成正定矩阵的封闭椭圆。

主子式检验与边界反例

实对称矩阵半正定，当且仅当所有主子式非负。主子矩阵要求同时选取相同索引的行与列；只检查左上角逐阶的顺序主子式不足以判定半正定。例如 $\mathrm{diag}(0,-1)$ 的左上角一阶子式与全行列式均为零，但在 $x=(0,1)$ 处二次型为负。

二阶对称矩阵 $\left(\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right)$ 的全部主子式恰为 $a,b,ab-c^2$，所以条件为三者均非负。变式 $\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 2\end{array}\right)$ 虽有负元素，但二次型是 $2(x_1-x_2{)}^2$，仍半正定。相反，$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ 所有元素都正，却在 $(1,-1)$ 处取负二。

仅检查特征值非负也要保留对称条件。矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$ 的两个特征值都是一，但在 $x=(1,-1)$ 处二次型为负二；它本来就不对称，不能使用上面的谱定理刻画。若只关心一般实矩阵的二次型，真正起作用的是对称部分 $(A+A^{𝖳})/2$。

半正定锥与矩阵比较

若 $A,B⪰0$ 且 $\alpha ,\beta \ge 0$，则对每个 $x$ 有 $x^{𝖳}(\alpha A+\beta B)x\ge 0$，故半正定矩阵构成凸锥。定义 $A⪰B$ 表示 $A-B⪰0$，称为半正定序。它比较的是所有方向上的二次型，不是逐元素比较。

例如 $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$ 满足 $A⪰I$，因为 $A-I$ 的二次型为 $(x_1-x_2{)}^2$。虽然 $A$ 的非对角元小于 $I$ 的对应元素，矩阵序关系仍成立。

对任意实矩阵 $C$，合同变换 $C^{𝖳}AC⪰0$，因为其二次型是 $(Cx{)}^{𝖳}A(Cx)$。若 $C$ 可逆，反向也成立。普通乘积则不同：两个半正定矩阵的乘积一般不对称，因而不一定属于半正定锥；额外的可交换条件会改变这一结论。

半正定性也自然出现在协方差矩阵中。若随机向量 $X$ 有有限二阶矩，协方差矩阵 $\Sigma$ 满足 $u^{𝖳}\Sigma u=\mathrm{Var}(u^{𝖳}X)\ge 0$。零方向表示某个线性组合无随机波动；“半正定”保留了这种完全线性依赖，而正定性将它排除。