厄米矩阵

厄米矩阵（Hermitian matrix，也译埃尔米特矩阵）是满足 $A=A^{\ast }$ 的复方阵。它的对角元素为实数，关于主对角线相对的元素互为复共轭；实数情形就是实对称矩阵。这个结构使二次表达式 $x^{\ast }Ax$ 始终为实数，但其值可以为正、零或负。

例如 $A=\left(\begin{array}{cc}2& i\\ -i& 2\end{array}\right)$ 是 Hermitian，因为右上角 $i$ 与左下角 $-i$ 互为共轭。若只作转置而不取共轭，就会误判这张矩阵。

二次表达式与实特征值

对于任意复向量 $x$，$\overline{x^{\ast }Ax}=x^{\ast }{A}^{\ast }x=x^{\ast }Ax$，所以该数为实数。若 $Av=\lambda v,v\ne 0$，则 $$\lambda =\frac{v^{\ast }Av}{v^{\ast }v}\in ℝ.$$ 分母是严格正的实数，这一步排除了非实特征值。进一步，若 $Au=\alpha u,Av=\beta v$ 且 $\alpha \ne \beta$，则 $$\alpha u^{\ast }v=(Au{)}^{\ast }v=u^{\ast }Av=\beta u^{\ast }v.$$ 因此 $u^{\ast }v=0$，不同特征值的特征向量正交。结合复谱定理，Hermitian 矩阵具有由实特征值组成的酉对角分解 $A=U\Lambda U^{\ast }$。

完整算例

上述矩阵的特征方程为 $$det(A-\lambda I)=(2-\lambda {)}^2-1=0,$$ 所以特征值为三和一。相应单位特征向量可取 $$u_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}i\\ 1\end{array}\right),u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-i\\ 1\end{array}\right).$$ 直接乘法给出 $A{u}_1=3u_1,A{u}_2=u_2$；再算 $u_1^{\ast }{u}_2=((-i)(-i)+1)/2=0$。故以这两列组成 $U$ 后，有 $U^{\ast }AU=\mathrm{diag}(3,1)$。这也同时检验了共轭和特征向量符号。

任意 $x=c_1{u}_1+c_2{u}_2$ 都满足 $x^{\ast }Ax=3|c_1{|}^2+|c_2{|}^2$，因此该矩阵正定，而且 $$\Vert x{\Vert }_2^2\le x^{\ast }Ax\le 3\Vert x{\Vert }_2^2.$$ 等号分别在 $u_2$、$u_1$ 方向达到。

正定性与一般矩阵的分解

对 Hermitian 矩阵，正定等价于所有特征值严格正；半正定等价于所有特征值非负。这由同一谱坐标表达 $x^{\ast }Ax=\sum {\lambda }_j|c_j{|}^2$ 证明：非负系数足够；若某特征值负，取其特征向量立即否定半正定性。Hermitian 本身不保证正定，例如 $\mathrm{diag}(1,-2)$ 在 $e_2$ 上给负值。

每个复方阵还可唯一写成 $$B=H+iK,H=\frac{B+B^{\ast }}{2},K=\frac{B-B^{\ast }}{2i},$$ 其中 $H,K$ 都 Hermitian。验证只需取共轭转置；若存在另一分解，把 $B$ 与 $B^{\ast }$ 分别相加、相减就恢复这两个公式。这是复数实部、虚部的矩阵版本，但 $H,K$ 未必交换，不能据此推出 $B$ 正规。

变式把主例的对角元二改成零，得到 $C=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ -i& 0\end{array}\right)$。特征向量不变，特征值变成一和负一，因此仍 Hermitian，却不再半正定。矩阵的对称结构与它表示的能量符号是两个不同判断。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§7A—7C（自伴、谱定理、正算子）；本文例子与图解独立构造。