友矩阵

友矩阵（companion matrix，也称多项式伴随矩阵）是把一个首一多项式的系数排成方阵，使它成为该矩阵的特征多项式和最小多项式。它把多项式方程、线性递推和循环基下的线性算子连接起来。这里的“伴随”与用余子式定义的 adjugate matrix 是不同概念；后者满足 $A\mathrm{adj}(A)=det(A)I$，不使用本文的系数排列规则。

系数的排列约定

设 $f(t)=t^n+c_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +c_{1}t+c_0$，$n\ge 1$，系数在域 $F$ 中。本文的友矩阵定义为 $$C(f)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -c_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -c_1\\ 0& 1& \cdots & 0& -c_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -c_{n-1}\end{array}\right).$$ 次数一时即为一阶矩阵 $(-c_0)$。另一些教材使用其转置；二者有相同特征多项式，但作用于状态坐标的方式不同。

以 $f(t)=t^3-2t^2-t+2$ 为例，系数为 $c_0=2,c_1=-1,c_2=-2$，所以 $$C=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right).$$ 最后一列是系数的相反数，并按常数项到高次项排列。

循环基与最短关系

由各列直接看出 $C{e}_1=e_2,\dots ,C^{n-1}{e}_1=e_n$，以及 $$C^n{e}_1=-c_0{e}_1-c_{1}C{e}_1-\cdots -c_{n-1}{C}^{n-1}{e}_1.$$ 因此 $f(C)e_1=0$。由于 $f(C)$ 与 $C$ 交换，同一关系对每个 $e_j=C^{j-1}{e}_1$ 也成立，故 $f(C)=0$。

另一方面，任何次数小于 $n$ 的非零多项式 $g$，在 $e_1$ 上代入后是 $e_1,\dots ,e_n$ 的非平凡线性组合，不可能为零。所以最小多项式次数至少 $n$，而 $f$ 已给出次数 $n$ 的归零关系，得到 $m_C=f$。再由最小多项式整除特征多项式，二者同为 $n$ 次首一多项式，便得 $p_C=f$。

递推关系的状态矩阵

主例多项式对应递推 $$a_{k+3}=2a_{k+2}+a_{k+1}-2a_k.$$ 若状态按连续三项排成 $s_k=(a_k,a_{k+1},a_{k+2}{)}^{𝖳}$，前两个分量要向前移，最后一个由递推产生，因此 $$s_{k+1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& 1& 2\end{array}\right)s_k=C^{𝖳}{s}_k.$$ 此处用的是转置，不是直接把上文的 $C$ 乘到历史状态上。取 $a_0=1,a_1=2,a_2=3$，有 $a_3=6,a_4=11$，状态依次为 $(1,2,3),(2,3,6),(3,6,11)$。

前两项移位，最后一项按同一条递推计算；状态约定决定是否使用转置。

根、多重根与边界

主例 $f=(t-2)(t-1)(t+1)$，因此特征值为二、一、负一且互异。变式取 $f=(t-1{)}^2=t^2-2t+1$，友矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 2\end{array}\right)$。其最小多项式也是 $(t-1{)}^2$，所以它不能对角化；不是看见多项式根就能忽略重根所造成的结构。

非首一多项式若最高次系数可逆，可先除以它；在数域中每个非零最高次系数都可逆。零多项式没有本文定义的友矩阵。用浮点系数求多项式根时，可以借助友矩阵特征值算法，但系数微扰对根的影响仍由原多项式的条件性决定，矩阵表示并不自动消除敏感性。

参考文献

Charles Rezk，Lecture Notes (Part 2), Math 500，§68，友矩阵与循环模。 Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§5B（最小多项式）、8C（块结构）；Rezk的友矩阵约定；本文例子与图解独立构造。