双对偶空间

双对偶空间（double dual space）是一个向量空间的对偶空间再取一次对偶，记为 $V^{* *} = (V^{*})^{*}$ 。它的元素输入一个线性泛函，输出一个标量。原空间的每个向量都能自然产生这样的“对测量规则的测量”：把给定泛函用在这个向量上。

例如在 $V = ℝ^{2}$ 中，泛函写成 $φ_{a, b} (x, y) = a x + b y$ 。固定向量 $v = (2, - 1)$ 后，规则 $φ_{a, b} \mapsto 2 a - b$ 对系数 $a, b$ 线性，因而属于 $V^{* *}$ 。

自然评价映射

定义 $J_{V} : V \to V^{* *}, J_{V} (v) (φ) = φ (v) .$ 第一层输入是向量 $v$ ；得到 $J_{V} (v)$ 后，第二层输入才是泛函 $φ$ 。对固定 $v$ ，线性性来自 $(a φ + b ψ) (v) = a φ (v) + b ψ (v)$ ，所以它确实落在双对偶。又有 $J_{V} (a v + b w) (φ) = a φ (v) + b φ (w)$ ，故 $J_{V}$ 本身也线性。

有限维同构的证明

设 $V$ 有基 $e_{1}, \dots, e_{n}$ ，对偶基为 $e^{1}, \dots, e^{n}$ 。如果 $J_{V} (v) = 0$ ，把它作用于每个 $e^{i}$ ，得到向量的全部坐标 $e^{i} (v) = 0$ ，因此 $v = 0$ ，映射单射。

满射还可以直接构造，而不只比较维数。给定任意 $Φ \in V^{* *}$ ，取 $v = \sum_{i = 1}^{n} Φ (e^{i}) e_{i} .$ 任意泛函 $φ$ 可展开成 $\sum_{i} φ (e_{i}) e^{i}$ ，于是 $Φ (φ) = \sum_{i} φ (e_{i}) Φ (e^{i}) = φ (v) = J_{V} (v) (φ) .$ 所以每个双对偶元素都来自唯一的原向量， $J_{V}$ 为同构。虽然证明用一组基算出坐标，映射的定义本身却没有选择基，也没有使用内积。

主例中，若 $Φ (φ_{a, b}) = 7 a + 3 b$ ，则对应向量是 $(7, 3)$ 。例如用 $φ_{2, - 1}$ 测量， $Φ (φ_{2, - 1}) = 14 - 3 = 11$ ，而 $φ_{2, - 1} (7, 3) = 11$ ，两条计算路径相同。

与线性映射配合

若 $T : V \to W$ 线性，对偶映射为 $T^{*} : W^{*} \to V^{*}$ ，二次取对偶又得到 $T^{* *} : V^{* *} \to W^{* *}$ 。对任意 $ψ \in W^{*}$ ， $\begin{matrix} [T^{* *} J_{V} (v)] (ψ) & = J_{V} (v) (T^{*} ψ) \\ = (T^{*} ψ) (v) \\ = ψ (T v) \\ = [J_{W} (T v)] (ψ) . \end{matrix}$ 故 $T^{* *} J_{V} = J_{W} T$ 。这正说明评价同构会随线性映射一起工作，不随坐标选择改变。

例如 $T (x, y) = (x + 2 y, 3 y)$ 把 $(2, - 1)$ 送到 $(0, - 3)$ ；若输出测量为 $ψ (u, w) = 4 u - w$ ，直接测量结果为三。反向传回的泛函是 $T^{*} ψ (x, y) = 4 x + 5 y$ ，在原向量上的值也为三。

这里始终讨论有限维代数对偶。无限维时，不能由“评价映射自然”就断言它满射；赋范空间的连续双对偶还牵涉反身性。另一方面， $V ≅ V^{*}$ 的某种同构通常需要选择基或内积，与无需额外选择的 $V \to V^{* *}$ 不同。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§3F（对偶空间及双对偶练习）；本文例子与图解独立构造。