反馈线性化

反馈线性化（feedback linearization）通过状态相关的输入变换，有时再配合坐标变换，使非线性系统的一部分或全部动态变成线性形式。它与在平衡点附近作一阶泰勒近似不同：在模型和变换允许的区域内，代入后的消去可以是精确等式。

精确消去一个非线性项

考虑无量纲模型 $\dot{x}=x^2+u$，状态和输入均为实数且暂不限制输入幅值。令 $u=-x^2+v$，直接代入得到 $\dot{x}=v$。再取 $v=-kx,k>0$，便有 $$\dot{x}=-kx,x(t)=x_0{e}^{-kt},u(t)=-x_0^2{e}^{-2kt}-k{x}_0{e}^{-kt}.$$ 当 $k=1,x_0=2$ 时，输入初值为负六，状态以 $2e^{-t}$ 衰减。可取 $V=x^2/2$，其导数为 $\dot{V}=-k{x}^2$，由解析解或该不等式都能确认全局指数稳定。

精确模型下，控制输入同时抵消非线性漂移并加入线性衰减。初始状态较大时，所需输入也可能很大。

输出线性化与相对阶

对单输入控制仿射模型 $\dot{x}=f(x)+g(x)u$、输出 $y=h(x)$，若所需导数存在，则 $$\dot{y}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u,$$ 其中 $L_{f}h=\mathrm{\nabla }{h}^{𝖳}f$，称为沿 $f$ 的Lie导数。如果区域内 $L_{g}h\ne 0$，可取 $u=(v-L_{f}h)/(L_{g}h)$，使 $\dot{y}=v$。若第一次导数中不出现输入，可继续求导；输入第一次出现的导数阶次称为相对阶，要求此前相应输入系数为零、该阶系数非零。除数趋近零时，变换会变得奇异或需要很大输入。

把输出链变成线性，并不自动稳定其他内部状态。例如 $\dot{q}=u,\dot{z}=z,y=q$，采用 $u=-q$ 后，输出确实满足 $\dot{y}=-y$，但内部状态 $z(t)=e^t{z}_0$ 仍增长。需要检查内部或零动态，不能只凭输出曲线趋零就声称整个状态稳定。全状态线性化还需要合适的可逆坐标变换及额外结构条件。

模型误差和输入限制

在主例中，若实际漂移为 $x^2+d(x)$，原控制得到 $\dot{x}=-kx+d(x)$。若已知 $|d(x)|\le \rho |x|$ 且 $\rho <k$，则 $$\dot{V}=-k{x}^2+xd(x)\le -(k-\rho )x^2,$$ 仍能证明指数收敛；若误差不满足这个界，精确消去证明不再适用。这给出了一个可检查的误差余量，而非笼统地说模型要准确。

变式。 对 $\dot{x}=2x^2+u$ 仍错误使用 $u=-x^2-x$，实际闭环为 $\dot{x}=x(x-1)$：$x_0=2$ 时先增长，不再全局稳定。即使模型正确，若输入被限于 $[-2,2]$，在 $x=2$ 时总有 $\dot{x}\ge 2$，该点也无法立即沿原设计下降。