吉文斯旋转

吉文斯旋转（Givens rotation）只在两个坐标方向中作平面旋转，其他坐标保持不变。它常用于逐个消去矩阵中的元素，尤其适合只需更新少数行或保留稀疏结构的场合。二维约定为 $G = (\begin{matrix} c & s \\ - s & c \end{matrix}), c^{2} + s^{2} = 1.$ 与通常正角度逆时针的旋转矩阵相比，这个符号约定的角度方向相反；选定约定后，消元公式必须保持一致。

消去一个数的参数

给定实数 $a, b$ ，希望 $G (a, b)^{𝖳} = (r, 0)^{𝖳}$ 。若 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} > 0$ ，取 $c = a / r, s = b / r .$ 则第一分量为 $(a^{2} + b^{2}) / r = r$ ，第二分量为 $- b a / r + a b / r = 0$ ；同时 $c^{2} + s^{2} = 1$ ，直接相乘给出 $G^{𝖳} G = I$ 和 $det G = 1$ 。若 $a = b = 0$ ，可取 $c = 1, s = 0, r = 0$ ，避免除零。

以 $(a, b) = (3, 4)$ 为例， $r = 5, c = 3 / 5, s = 4 / 5$ 。旋转角为顺时针 $\arctan (4 / 3)$ ，并非将第二个分量直接删掉；总长度必须由首分量五承接。

向量3,4沿半径五圆顺时针转到5,0，长度保持 — 旋转把第二个分量的大小转移到第一个分量；数值零来自两个乘积的消去。

一次两行更新

若 $G$ 左乘矩阵的第 $i, j$ 行，则对每一列 $k$ ，新元素为 $a'_{i k} = c a_{i k} + s a_{j k}, a'_{j k} = - s a_{i k} + c a_{j k} .$ 计算第二行时必须仍使用旧行值，否则会把刚修改过的元素又代回，得到另一种运算。一次两行更新对有 $n$ 列的矩阵耗时 $O (n)$ 。

取 $A = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix})$ ，用主例的 $G$ ， $G A = (\begin{matrix} 5 & 11 / 5 \\ 0 & 2 / 5 \end{matrix}) = R .$ 于是 $A = Q R$ ，其中 $Q = G^{𝖳}$ 。第二列的两项分别是 $3 / 5 + 8 / 5 = 11 / 5$ 与 $- 4 / 5 + 6 / 5 = 2 / 5$ 。行列式核对也成立： $det A = 2$ ， $det R = 5 \cdot 2 / 5 = 2$ ，因为旋转行列式是一。

可运行参数构造

直接先算 $a^{2} + b^{2}$ 可能使平方溢出；先得到原尺度范数再相除，也可能受次正规数的舍入影响。以下代码先用最大绝对分量缩放，由缩放后的范数计算方向参数；再用 math.hypot 单独计算原尺度目标。输入两个有限实数，返回 $c, s, r$ ，不改写输入；若目标范数溢出，抛出 OverflowError。只处理常见实旋转；复数消元需使用酉旋转的共轭规则。

Python 3

import math

def givens(a, b):
    a, b = float(a), float(b)
    if not (math.isfinite(a) and math.isfinite(b)):
        raise ValueError("require finite real inputs")
    scale = max(abs(a), abs(b))
    if scale == 0:
        return 1.0, 0.0, 0.0
    aa, bb = a / scale, b / scale
    scaled_norm = math.hypot(aa, bb)
    c, s = aa / scaled_norm, bb / scaled_norm
    r = math.hypot(a, b)
    if not math.isfinite(r):
        raise OverflowError("rotation norm is not representable")
    return c, s, r

c, s, r = givens(3, 4)
print(c, s, r)              # 0.6 0.8 5.0
print(c * 3 + s * 4)        # 5.0
print(-s * 3 + c * 4)       # approximately 0.0

参数构造是常数时间和空间；在高维中只更新指定两行，不必显式形成整张旋转矩阵。稠密QR分解需要多次旋转，总成本仍可达到 $O (n^{3})$ ，不能把单次旋转的成本当作整次分解的成本。

方向与目标尺度应分开理解。若 $a = b$ 都是最小正浮点数 math.ulp(0.0)，本函数仍给出约 $c = s = 1 / \sqrt{2}$ ； $r$ 因次正规刻度舍入成最小正数。若反过来用这个已舍入的 $r$ 相除，就会错误地得到 $c = s = 1$ 。极小输出的逐项乘加同样会舍入，不能据此要求每个浮点等式逐位精确；旋转方向的单位圆条件仍应在通常的浮点相对精度内成立。

变式取 $a = 0, b = - 7$ ，得到 $c = 0, s = - 1, r = 7$ ，第二分量被正确消去；若 $b = 0, a = - 7$ ，本约定得到 $c = - 1, s = 0, r = 7$ 。不同软件也可能允许负的 $r$ 以满足其他连续性约定，比较参数时应先比较它们实现的等式，而非只看符号是否相同。

参考文献

LAPACK作者，DLARTG源码文档，平面旋转定义；本文Python实现采用非负r约定，边界符号可能不同。 Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§7D（正交变换与QR分解）；本文例子与图解独立构造。