商向量空间

商向量空间（quotient vector space）把一个子空间内的差异视为零：若两个向量的差属于指定子空间，就把它们看作同一个新向量。它保留加法和数乘，却丢弃那些被指定为“不再区分”的方向。

例如在平面中忽略水平方向，点 $(1,2)$ 与 $(5,2)$ 便没有区别；它们同属一条水平线。新空间的元素是整条水平线，而非任选在线上的那个点。高度不同的水平线仍须区分。

等价类与运算

设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间，$U\le V$ 是线性子空间。规定 $v\sim w$ 当且仅当 $v-w\in U$。子空间包含零且对加法、取负封闭，分别保证自反性、传递性与对称性。向量 $v$ 的等价类为 $$\begin{array}{cc}v+U& =\{v+u:u\in U\},\\ V/U& =\{v+U:v\in V\}.\end{array}$$ 这些集合称为陪集。平面例子中 $U=\{(x,0):x\in ℝ\}$，所以 $(1,2)+U=\{(x,2):x\in ℝ\}$。

在陪集之间定义 $$\begin{array}{cc}(v+U)+(w+U)& =(v+w)+U,\\ a(v+U)& =av+U.\end{array}$$ 必须核对结果不依赖代表元。若 $v^{\prime }=v+u_1,w^{\prime }=w+u_2$，则 $(v^{\prime }+w^{\prime })-(v+w)=u_1+u_2\in U$；同时 $a{v}^{\prime }-av=a{u}_1\in U$。因此更换代表点并不改变结果。其余向量空间公理由 $V$ 继承；新空间的零向量是整个 $U=0+U$。

忽略水平方向后，一条线是一个元素；竖直坐标仍区分不同元素。

从线性映射得到商空间

设 $T:V\to W$ 线性。核 $\ker T$ 正是映射无法辨别的差异，因为 $$\begin{array}{cc}T(v)=T(w)& ⟺T(v-w)=0\\ & ⟺v-w\in \ker T.\end{array}$$ 于是可定义 $\tilde{T}:V/\ker T\to \mathrm{im}T$，令 $\tilde{T}(v+\ker T)=T(v)$。上式证明它良定义且单射；像空间的定义保证满射，线性则由陪集运算直接给出。因此 $$V/\ker T\cong \mathrm{im}T.$$ 这称为线性映射的第一同构定理。它说先把被压掉的方向归零，余下的信息就与实际输出完全对应。

取 $T(x,y,z)=x+2y-z$。向量 $v=(3,1,1)$ 的输出是四；核由 $x+2y-z=0$ 给出。因为 $v-(4,0,0)=(-1,1,1)\in \ker T$，故 $v+\ker T=(4,0,0)+\ker T$。商空间是一维，坐标可直接选作 $T(v)$。

维数、补空间与代表元

若 $\dim V=n,\dim U=k$，将 $U$ 的基 $u_1,\dots ,u_k$ 扩充为 $V$ 的基 $u_1,\dots ,u_k,b_1,\dots ,b_{n-k}$。任意陪集都由 $b_j+U$ 张成，因为 $u_i$ 的部分归零；若 $\sum c_j{b}_j\in U$，原基的线性无关性又使所有 $c_j=0$。故 $$\dim (V/U)=n-k.$$ 补空间 $B=\mathrm{span}(b_1,\dots ,b_{n-k})$ 为每个陪集选出唯一代表元。但不同补空间会选出不同代表元；商空间本身不依赖这种额外选择。

作为变式，取 $U=\mathrm{span}(1,1)\subset {ℝ}^2$。$(4,1)$ 与 $(2,-1)$ 的差是 $(2,2)$，因此表示同一商向量；$(4,2)$ 则不同。用 $T(x,y)=x-y$ 作商坐标，前两个都对应三，第三个对应二。若被忽略的集合不是子空间，例如单位圆，代表元运算的上述论证就不成立，不能按同一规则直接构造商向量空间。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§3E（商空间）、3B（核与像）；本文例子与图解独立构造。