基库存策略

基准库存策略（base-stock policy）在每次补货决策时，把库存或库存位置补到一个目标水平。若当前净库存为 $x$、目标为 $S$ 且不允许退货，则订量为 $q=(S-x{)}^{+}$，其中 $u^{+}=max(u,0)$。它是一种订货规则，目标值仍须按需求、服务与成本条件确定，不能把目标库存当作随意加上的“安全余量”。

以下先在一个可以完整证明的单期模型中求目标：补货立即到达，无固定订货费与单位订货费，需求未满足时全部积压。每单位期末正库存成本为一元，每单位积压成本为三元。需求 $D$ 分别取零、一、二，概率为零点二、零点五、零点三。所有数量均为整数。

正库存与积压的共同损失

将补货后的净库存记为 $s=x+q\ge x$。需求发生后，正库存为 $(s-D{)}^{+}$，积压为 $(D-s{)}^{+}$。一般模型中假定 $D$ 为非负整数随机变量且 $𝔼D<\mathrm{\infty }$，持有成本 $h>0$、积压成本 $p>0$。这样每个有限整数 $s$ 对应的期望成本都有限，可以作下文差分。相关期望成本为 $$L(s)=h𝔼(s-D{)}^{+}+p𝔼(D-s{)}^{+}.$$ 净库存可以为负，表示积压，不表示仓库中存在负数件实物。目标只覆盖本期末持有/积压损失；采购费被设为零不是默认现实采购免费，而是明确的简化假设。

主例把各可能需求逐个代入： $$\begin{array}{cc}L(0)& =0.5\times 3+0.3\times 6=3.3,\\ L(1)& =0.2\times 1+0.3\times 3=1.1,\\ L(2)& =0.2\times 2+0.5\times 1=0.9,\\ L(3)& =0.2\times 3+0.5\times 2+0.3=\mathrm{1.9.}\end{array}$$ 备两件比一件平均多花零点七元持有成本，却减少零点九元积压成本，净省零点二元；这个差额可直接用离散差分看清。

最优分位数的证明

库存从整数 $s$ 增加一件时：若 $D\le s$，期末库存多一件、成本加 $h$；若 $D\ge s+1$，积压少一件、成本减 $p$。因而 $$\begin{array}{cc}L(s+1)-L(s)& =hPr(D\le s)\\ & -pPr(D\ge s+1)\\ & =(h+p)F(s)-p,\end{array}$$ 其中 $F(s)=Pr(D\le s)$。由于 $F$ 非递减，差分也非递减；成本先下降、可能持平、再上升。因此最小的最优目标可选为满足 $$F(S)\ge \frac{p}{p+h}$$ 的最小整数 $S$。若某一格 $F(s)$ 恰等于该比值，则 $s$ 与 $s+1$ 的成本相等，可能有多个最优目标。主例阈值为 $3/4$，$F(1)=0.7$ 尚不足，$F(2)=1$ 达标，故最小最优目标为二。

点是允许的整数备货量；连线只连接相邻离散方案。目标二由费用差分与分位阈值共同确定。

若当前 $x=-1$，订三件补到二；若当前已有三件且不能退货，不能订负一件，而是订零、保持三。差分在最优区间之后非负，所以在约束 $s\ge x$ 下，最优备货水平为 $max(x,S)$。

库存位置与提前期

有未到货订单时，库存位置通常定义为“在手实物加在途数量减未交付积压”。例如在手二件、在途四件、积压一件，库存位置为五；目标位置六时再订一件，而非只看货架上的二件就订四件。这个核算避免对同一未来缺口重复订货。

但正提前期会改变被保护的需求区间；周期检查还可能涉及“提前期加检查周期”的需求。上面单期分位数的证明不能未经动态模型论证就称为任意多期、随机提前期下的普遍最优策略。有固定订货费时，分批补足目标可能太频繁，更常需要订货点与订货上限两个参数。

变式。 持有成本提高到三元、积压成本仍为三元，阈值变为二分之一。$F(0)=0.2$、$F(1)=0.7$，故目标降为一；直接复算 $L(1)=0.6+0.9=1.5$，小于 $L(0)=3.3$ 与 $L(2)=2.7$。成本比改变目标方向，与对需求曲线的直觉相符。