多目标优化

多目标优化同时考虑两个或更多需要取舍的指标。比较方案时，若一个方案在所有指标上都不差、并且至少一项更好，就说它支配另一个方案。没有被其他可行方案支配的方案称帕累托有效；“有效”只排除了无谓损失，并没有替决策者决定哪种取舍最好。

三种方案中的取舍

设某项设计同时希望成本与误差越小越好，三个可行方案的指标如下：

方案	成本 $f_{1}$	误差 $f_{2}$
A	0	4
B	2	3
C	4	0

A 比 B 便宜但误差更大；C 比 B 误差更小但成本更高。三者互不支配，因此都是帕累托有效点。若再有 D=(3,4)，则 B 的成本 2 小于 3、误差 3 小于 4，故 D 被 B 支配，无论偏好怎样，只要两个指标都按“越小越好”理解，D 都可先排除。

一般地，给定可行集 $C$ 和向量目标 $F (x) = (f_{1} (x), \dots, f_{m} (x))$ ，若不存在 $y \in C$ 使 $f_{i} (y) \leq f_{i} (x)$ 对每个 $i$ 成立且至少一处严格小于，就称 $x$ 帕累托有效。这里的比较是在目标值上进行；不同决策变量可能产生同一个目标向量。

成本与误差坐标中 A零四、B二三、C四零互不支配，D三四被 B 支配 — 图上向左、向下都是改进方向。B 位于 A 与 C 的取舍之间；D 可被 B 同时从两项指标上改进。

加权求和能找到什么

常见做法是选择 $0 \leq α \leq 1$ ，最小化 $α f_{1} + (1 - α) f_{2}$ 。若两个权重都严格为正，则任何加权和的最小点必是帕累托有效的：若另一个方案支配它，加权目标会更小，产生矛盾。指标量纲和典型数值若差很多，应先按可解释的尺度归一化；同一个数字权重不能直接解释成“同样重视”。

加权求和并不一定找到所有有效点。对表中 A、B、C，它们的加权值分别为 $4 - 4 α$ 、 $3 - α$ 、 $4 α$ 。若 B 比 A 不差，需要 $3 - α \leq 4 - 4 α$ ，即 $α \leq 1 / 3$ ；若 B 比 C 不差，又需 $3 - α \leq 4 α$ ，即 $α \geq 3 / 5$ 。两条件不能同时成立。B 明明有效，却无论怎样调这一个权重都不成为加权最优方案。这是非凸目标值集合中常见的“被加权法漏掉的有效点”，并非 B 没有价值。

相反，连续决策也能有一整段有效方案。设 $0 \leq x \leq 4$ ， $f_{1} (x) = x$ 表示费用， $f_{2} (x) = (4 - x)^{2}$ 表示误差。 $x$ 从零增到四时，费用严格增加、误差严格减少，所以区间内任意两个不同方案都互不支配，整段都是帕累托有效的。若取权重 $0 < α < 1$ ，加权目标的导数是 $α - 2 (1 - α) (4 - x)$ ；其最小点为 $x = 4 - α / [2 (1 - α)]$ ，再按约束截到 $[0, 4]$ 。例如 $α = 1 / 2$ 时选 $x = 7 / 2$ ，费用 $7 / 2$ 、误差 $1 / 4$ 。这与离散表中的 B 形成对照：能否通过调权重扫到目标前沿，取决于目标值集合的几何形状。

只给某个指标零权重还可能留下被支配的并列解。比如两方案的目标值为 $(0, 0)$ 与 $(0, 1)$ ；若只最小化第一项，二者都取得零，但后一方案显然被前者支配。因此前面“加权最优必有效”的结论明确要求所有考虑的指标权重为正，或对并列解再作二次筛选。

固定一个指标的容忍界

另一种办法是把某个指标变成约束，例如在 $f_{2} \leq 3$ 下最小化成本。表中 A 不符合误差上限；B 的成本为 2，小于 C 的 4，故选 B。改变误差上限，可以沿着可行方案的取舍边界逐点考察。实际建模还需说明指标的测量方式、单位、不确定性与硬性约束；帕累托前沿由模型给出，最终偏好仍须由使用者确定。

参考资料

MIT 1.020《Multiple Objectives, Pareto Optimality》，以资源利用讨论多目标取舍。
MIT IDS.338J 多目标优化讲义，讨论权重与帕累托前沿。