对偶空间

对偶空间（dual space）由一个向量空间上的所有线性标量测量组成。它的元素是线性泛函：输入一个向量，输出一个域中的数；测量须保留加法和数乘。比如 $\phi (x,y)=x-y$ 是平面上的线性泛函，$\phi (x,y)=x^2+y^2$ 则不是。

泛函组成的新空间

对域 $F$ 上的向量空间 $V$，定义 $$V^{\ast }={\mathrm{Hom}}_F(V,F).$$ 其中的加法与数乘逐点进行：$(\phi +\psi )(v)=\phi (v)+\psi (v)$，$(a\phi )(v)=a\phi (v)$。这里的 $V^{\ast }$ 是代数对偶；无限维赋范空间中只取连续泛函的“连续对偶”是另一约定。

在 ${ℝ}^2$ 的标准基下，每个线性泛函均有 $ax+by$ 的形式，因为 $\phi (x{e}_1+y{e}_2)=x\phi (e_1)+y\phi (e_2)$。系数行向量 $(a,b)$ 表示测量规则，输入列向量表示被测对象。

对偶向量可通过等值线阅读。同一条线上所有点的测量值相同。

图中 $v=(4,2)$ 落在 $x-y=2$ 的等值线上；沿斜率为一的方向移动不会改变这一读数。这些平行等值线表现的是同一个测量规则，沿原点到终点的箭头才表示输入向量。

对偶基与坐标读取

设 $b_1,\dots ,b_n$ 是 $V$ 的基。对每个向量唯一的展开 $v=\sum _j{x}_j{b}_j$，定义 $b^i(v)=x_i$。于是 $$b^i(b_j)={\delta }_{ij}.$$ 这些泛函线性，且构成 $V^{\ast }$ 的基。证明可直接对任意 $\phi$ 展开： $$\phi (v)=\sum _j{x}_j\phi (b_j)=(\sum _j\phi (b_j)b^j)(v).$$ 这给出张成性；若 $\sum c_j{b}^j=0$，依次代入 $b_i$ 就得 $c_i=0$，给出线性无关性。因此有限维时 $\dim V^{\ast }=\dim V$。

取斜基 $b_1=(1,1),b_2=(1,-1)$。由 $$(x,y)=\frac{x+y}{2}{b}_1+\frac{x-y}{2}{b}_2$$ 得到 $b^1(x,y)=(x+y)/2$、$b^2(x,y)=(x-y)/2$。例如 $v=(5,1)$ 的新坐标是 $(3,2)$，不是原来的 $(5,1)$。直接核对 $3b_1+2b_2=(5,1)$ 即可确认。

若把基向量作为矩阵 $B$ 的列，则对偶基是 $B^{-1}$ 的各行。通过实内积把泛函识别成向量时，正交基的对偶向量为 $b_i/\Vert b_i{\Vert }^2$；不是简单除以长度。非正交基则须解上述逆矩阵关系。

对偶映射的方向

给定 $T:V\to W$，一个对 $W$ 的测量 $\psi$ 可以在输出 $T(v)$ 上执行，于是定义 $$T^{\ast }:W^{\ast }\to V^{\ast },T^{\ast }\psi =\psi \circ T.$$ 测量规则沿映射反向传回。若 $T$ 在所选基下矩阵为 $A$，对偶基下 $T^{\ast }$ 的矩阵是 $A^{𝖳}$。例如 $T(x,y)=(2x+y,x-y)$，$\psi (u,v)=u+3v$，则 $T^{\ast }\psi =5x-2y$。列系数运算也给出 $A^{𝖳}(1,3{)}^{𝖳}=(5,-2{)}^{𝖳}$。

在复数域上，代数对偶映射仍用转置，而非共轭转置。引入内积后可把泛函同向量联系起来，但这一识别依赖内积和线性约定，不能倒过来把两类对象当作原本相同。

变式取 $c_1=(1,0),c_2=(1,2)$。由 $(x,y)=(x-y/2)c_1+(y/2)c_2$，对偶基是 $c^1=x-y/2,c^2=y/2$；$(7,6)$ 的坐标为 $(4,3)$。两个测量分别把另一个基方向消去，正是对偶基的用途。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§3F（对偶空间、对偶映射）；本文例子与图解独立构造。