对偶锥

对偶锥（dual cone）由对原集合中每个向量都给出非负内积的向量组成。对 $K\subseteq {ℝ}^n$，本文采用 $$K^{\ast }=\{y\in {ℝ}^n:y^{𝖳}x\ge 0\text{ 对所有 }x\in K\}$$ 的正号约定。有些文献将带非正号的集合称为极锥；它等于 $-K^{\ast }$，使用时须核对符号。对偶锥是线性不等式的全部共同验证方向，不是把原锥的边界简单旋转九十度。

取 $K=\mathrm{cone}\{(1,0),(1,2)\}$。向量 $y=(a,b)$ 属于对偶锥，当且仅当 $$a\ge 0,a+2b\ge 0.$$ 必要性来自对两个生成向量分别取内积；充分性来自任何 $x=\alpha (1,0)+\beta (1,2)$ 都满足 $y^{𝖳}x=\alpha a+\beta (a+2b)\ge 0$。

原锥 K：向量满足 x≥0、0≤y≤2x。箭头表示射线继续无限延伸，着色只显示当前窗口。

对偶锥可写成 $\mathrm{cone}\{(0,1),(2,-1)\}$，因为 $(a,b)=(b+a/2)(0,1)+(a/2)(2,-1)$，两个系数恰由不等式保证非负。边界向量 $(2,-1)$ 与原锥的 $(1,2)$ 垂直，却与另一生成向量内积为二；对偶中的向量不要求和原锥每个向量都垂直。

对偶锥 K*：a≥0、a+2b≥0。其两条边分别使原锥的一条生成边内积为零；非零边界方向不要求与原锥所有向量都垂直。

对偶自动闭且凸

对固定 $x$，条件 $y^{𝖳}x\ge 0$ 定义一个经过原点的闭半空间；对全部 $x\in K$ 取交，仍是闭凸集。非负线性组合保留所有这些不等式，所以 $K^{\ast }$ 总是闭凸锥，即使 $K$ 本来不闭或不凸。

若 $K_1\subseteq K_2$，验证较大集合的全部向量需要更多条件，故 $K_2^{\ast }\subseteq K_1^{\ast }$。另外 $K\subseteq K^{\ast \ast }$：若 $x\in K$，每个 $y\in K^{\ast }$ 都满足 $x^{𝖳}y\ge 0$，恰好说明 $x$ 在双对偶中。下面说明何时反向成立。

闭凸锥的双对偶定理

定理　有限维欧几里得空间中的非空闭凸锥满足 $K^{\ast \ast }=K$。

只需证明任意 $x\notin K$ 都不在 $K^{\ast \ast }$。由于 $K$ 非空且闭，距离函数可限制在一个足够大的闭球内求最小值；闭有界集合在有限维中紧，所以存在最近点 $p\in K$。令 $q=x-p\ne 0$。

对任意 $z\in K$，线段点 $p+t(z-p)$ 仍在 $K$。最近性给出 $$\Vert q-t(z-p){\Vert }^2\ge \Vert q{\Vert }^2.$$ 展开、除以 $t>0$，再令 $t\downarrow 0$，得到 $q^{𝖳}(z-p)\le 0$。分别取 $z=0$ 与 $z=2p$，得到 $q^{𝖳}p=0$，于是对所有 $z\in K$ 有 $q^{𝖳}z\le 0$。

令 $y=-q=p-x$，则 $y\in K^{\ast }$；但 $$y^{𝖳}x=-q^{𝖳}(p+q)=-\Vert q{\Vert }^2<0.$$ 所以 $x$ 违反双对偶的一条定义不等式，不能属于 $K^{\ast \ast }$。结合前面的包含关系，定理得证。证明中的最近点与线段分别用到了闭性和凸性。

主例为闭凸锥，所以再次取对偶可恢复原来的条件 $x\ge 0,0\le y\le 2x$。变式取非闭凸锥 $K=\{(x,y):y>0\}\cup \{0\}$，要对所有正负任意大的横坐标保持非负内积，第一系数只能为零；第二系数必须非负。故 $K^{\ast }=\{(0,b):b\ge 0\}$，再取对偶得到闭半平面 $y\ge 0$，严格大于原集合。这展示了双对偶会补上缺失边界。

自对偶与正交子空间

非负正交象限 ${ℝ}_{+}^n$ 自对偶：对全部标准基取内积迫使每个坐标非负，反向非负坐标内积显然非负。对称矩阵空间采用迹内积时，半正定锥也自对偶。若 $Y⪰0$，将任意 $X⪰0$ 分解为非负加权的 $u{u}^{𝖳}$，有 $\mathrm{tr}(YX)\ge 0$；若 $Y$ 不半正定，选使 $u^{𝖳}Yu<0$ 的 $u$，令 $X=u{u}^{𝖳}$ 就反驳对偶条件。

若 $K=L$ 是线性子空间，它同时包含 $x$ 与 $-x$，对偶不等式只可能同时成立为等号，因此 $L^{\ast }=L^{\perp }$。这与非负象限的自对偶不同，也说明对偶锥可能没有内部或可能包含直线，不能仅靠平面楔形的外观猜性质。