小增益定理

小增益定理（small-gain theorem）用互联系统的输入输出增益界，给出反馈连接保持有限增益的一组充分条件。直观上，信号绕回路一周的放大比例严格小于一，可以用几何收缩控制循环放大。它首先是输入输出结论，不能忽略隐藏状态而直接声称所有内部状态都稳定。

有限时段上的增益假设

设两个因果系统 $G_1,G_2$ 在零初态下，对每个有限时段都满足 $\Vert G_{i}u{\Vert }_{2,T}\le {\gamma }_i\Vert u{\Vert }_{2,T}$，其中 $\Vert u{\Vert }_{2,T}=({\int }_0^T\Vert u(t){\Vert }^2\mathrm{d}t{)}^{1/2}$，${\gamma }_i\ge 0$ 为与 $T$ 无关的常数。还需假定反馈连接良定，即给定外部输入后，存在唯一且符合因果时序的互联信号。

考察正反馈写法 $y_1=G_1(r_1+y_2)$、$y_2=G_2(r_2+y_1)$。三角不等式给出 $$\Vert y_1\Vert \le {\gamma }_1(\Vert r_1\Vert +\Vert y_2\Vert ),\Vert y_2\Vert \le {\gamma }_2(\Vert r_2\Vert +\Vert y_1\Vert ).$$ 这里各范数均在同一时段。把第二式代入第一式、把输出项移到左边，得到 $$(1-{\gamma }_1{\gamma }_2)\Vert y_1\Vert \le {\gamma }_1\Vert r_1\Vert +{\gamma }_1{\gamma }_2\Vert r_2\Vert .$$ 若 ${\gamma }_1{\gamma }_2<1$，就能除以严格正的系数，得到不依赖时长的有限增益界；交换下标也得 $y_2$ 的界。负反馈同样可用范数三角不等式得到这一充分条件。

一阶回路中的数值余量

取稳定模块 $G_1(s)=a/(s+1)$、$G_2(s)=b/(s+1)$，$a,b>0$。零初态 $L^2$ 增益分别为 $a,b$。正反馈闭环的特征多项式为 $(s+1{)}^2-ab$，极点是 $-1\pm \sqrt{ab}$。

令 $a=0.4,b=0.5$，回路乘积为 $0.2$，两极点约为 $-0.5528,-1.4472$，均在左半平面。当 $r_2=0$，定理给出 $\Vert y_1{\Vert }_2\le 0.4/(1-0.2)\Vert r_1{\Vert }_2=0.5\Vert r_1{\Vert }_2$。如果有模型不确定性，但已知实际增益不超过所用的界，这个证明仍可使用。

接近阈值一时，虽然充分条件仍成立，给出的外扰放大界会迅速增大。严格小于一不是可以随意改成小于等于一的装饰条件。

在上述一阶模型中，若 $ab=1$，闭环有零极点；若 $ab>1$，出现正实极点。变式。 改取 $a=2,b=1$，极点 $-1\pm \sqrt{2}$，其中一个增长，已经失去稳定性。

充分性、初态与内部状态

条件一般不是必要的。例如两个无记忆乘法模块 $G_{1}u=2u,G_{2}u=u$ 形成正反馈且 $r_2=0$ 时，代数方程 $y_1=2(r_1+y_1)$ 有唯一解 $y_1=-2r_1$，仍是有限增益映射，虽然增益乘积大于一。系统结构和反馈符号可以提供比统一范数界更精细的信息。

非零初态时，若模块界含常数 ${\beta }_i$，相同移项会在右边留下相应初态项，不能直接沿用零初态公式。若模块内部还藏有完全不影响输出的增长状态，输入输出范数界也检测不到它。把小增益结论升级为内部状态稳定，需要额外的内部稳定、状态可检测或输入到状态稳定等假设。