循环子空间

循环子空间（cyclic subspace）由一个向量及其在同一线性算子反复作用下的像张成。它把一个初始状态能够产生的全部线性方向放在一起，也是包含这个向量的最小不变子空间。

设 $T:V\to V$，给定 $v\in V$，定义 $$\begin{array}{cc}𝒞(T,v)& =\mathrm{span}\{v,Tv,T^{2}v,\dots \}\\ & =\{p(T)v:p\in F[t]\}.\end{array}$$ 这里最后的集合已经是子空间，因为多项式可以相加和数乘。向量 $v=0$ 时，循环子空间就是零空间。

最小不变性的证明

任意元素是有限和 $u=\sum a_j{T}^{j}v$；再作用一次得到 $Tu=\sum a_j{T}^{j+1}v$，仍在同一空间，所以它不变。若 $W$ 是任何包含 $v$ 的不变子空间，递归可知 $Tv,T^{2}v,\dots$ 全在 $W$，它们的线性组合也在 $W$。故 $𝒞(T,v)\subseteq W$，证明最小性。

若 $V$ 有限维、$v\ne 0$，设第一次线性相关发生在 $T^{r}v$，即 $v,\dots ,T^{r-1}v$ 线性无关而 $$T^{r}v=c_{0}v+c_{1}Tv+\cdots +c_{r-1}{T}^{r-1}v.$$ 以后所有幂都不会产生新方向：把这个关系再作用 $T$，将出现的 $T^{r}v$ 再用同一关系替换，归纳即可。因此这 $r$ 个向量构成循环子空间的基，维数为 $r$。

三个不同初态

取 $A=\mathrm{diag}(1,2,3)$。若 $v=e_1$，则 $A^{k}v=e_1$，循环子空间只有一维。若 $w=(1,1,0{)}^{𝖳}$，有 $Aw=(1,2,0{)}^{𝖳}$，两者线性无关，而 $$A^{2}w=(1,4,0{)}^{𝖳}=3Aw-2w.$$ 所以循环子空间恰为前两个坐标张成的平面。不是矩阵的三个特征值都必须出现在每个初态的轨道里。

再取 $z=(1,1,1{)}^{𝖳}$。三列 $z,Az,A^{2}z$ 组成的矩阵为 $$K=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& 9\end{array}\right),detK=2\ne 0.$$ 所以这次循环子空间是整个 ${ℝ}^3$。其首次关系为 $A^{3}z=6A^{2}z-11Az+6z$，可逐坐标把一、二、三分别代入 $t^3-6t^2+11t-6$ 核对。

在首次关系之后，反复作用不再增加维数。箭头表示作用算子，而非向量的空间位置。

向量的最小多项式

取使 $p(T)v=0$ 的最低次首一多项式，记为 $m_{T,v}$。对非零 $v$，其次数等于循环子空间维数，前述首次关系就给出它。若 $m_T(T)=0$，必有 $m_T(T)v=0$，用多项式除法可证明 $m_{T,v}\mid m_T$。

在刚才三个初态中，相应多项式依次为 $t-1$、$(t-1)(t-2)$、$(t-1)(t-2)(t-3)$。它们各自记录初态实际触及的方向。对零向量可约定 $m_{T,0}=1$，次数零，与零空间维数一致。

变式将 $w$ 改为 $(0,1,1)$。首次关系变为 $A^{2}w=5Aw-6w$，维数仍为二，但相应平面和最小多项式都改变了。循环子空间同时依赖算子与起始向量，不能只看矩阵名称判断。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§5A—5B（算子多项式、不变子空间、最小多项式）；本文例子与图解独立构造。