持续激励

持续激励（persistent excitation，PE）要求一个随时间变化的输入或回归信号，在每个足够长的时间窗口内都包含辨认所需参数的独立方向。信号幅度大、一直不为零，仍可能只照亮一个方向；是否有足够信息取决于回归向量的结构。

两个参数不能只靠一个方向

设无误差回归 $y_k={\phi }_k^{𝖳}\theta$，未知参数 $\theta =({\theta }_1,{\theta }_2{)}^{𝖳}$。如果每次 ${\phi }_k=(1,1{)}^{𝖳}$，观测只给出 $y_k={\theta }_1+{\theta }_2$。即使记录一万次，也无法区分 $(2,-1)$ 和 $(3,-2)$；信号一直有能量，却没有新方向。

若改成交替使用 ${\phi }_{2j}=(1,0{)}^{𝖳}$、${\phi }_{2j+1}=(0,1{)}^{𝖳}$，每个连续两步窗口的矩阵和为 $$\sum _{k=j}^{j+1}{\phi }_k{\phi }_k^{𝖳}=I_2.$$ 参数 $(2,-1)$ 对应交替输出 $2,-1$，两步就能区分两个分量。

左边每次重复同一方向；右边在一个两步窗口内覆盖两个独立方向。图中箭头表示回归向量，不是参数随时间的轨迹。

窗口矩阵的定义

离散回归向量 ${\phi }_k\in {ℝ}^d$ 称为持续激励，若存在整数 $N\ge 1$ 和常数 $\alpha >0$，对所有起点 $j$ 都有 $$\sum _{k=j}^{j+N-1}{\phi }_k{\phi }_k^{𝖳}⪰\alpha I_d.$$ 这等价于每个单位方向 $z$ 在每个窗口都有 $\sum ({\phi }_k^{𝖳}z{)}^2\ge \alpha$。若信号另有统一上界，就同时存在窗口矩阵的统一有限上界。连续时间用 ${\int }_t^{t+T}\phi (s)\phi (s{)}^{𝖳}\mathrm{d}s⪰\alpha I$ 表示。

例如 $\phi (t)=(\cos t,\sin t{)}^{𝖳}$，任意完整周期的积分为 $\pi I_2$：平方正弦和平方余弦各积分为 $\pi$，交叉项积分为零。因此可取 $T=2\pi ,\alpha =\pi$。

参数误差怎样被逐步消除

对离散梯度更新 ${\hat{\theta }}_{k+1}={\hat{\theta }}_k+\gamma {\phi }_k(y_k-{\phi }_k^{𝖳}{\hat{\theta }}_k)$，无误差观测下参数误差 $e_k={\hat{\theta }}_k-\theta$ 满足 $$e_{k+1}=(I-\gamma {\phi }_k{\phi }_k^{𝖳})e_k.$$ 在交替标准基例中，第一步将第一误差乘 $1-\gamma$，第二步将第二误差乘同一因子。因此每两步 $e_{k+2}=(1-\gamma )e_k$，当 $0<\gamma <2$ 时严格收缩。取 $\gamma =1/2$、初始估计零，真实参数 $(2,-1)$，两步后估计 $(1,-1/2)$，四步后 $(3/2,-3/4)$。这是本例的完整收敛证明，不能不加条件地套到任意非线性自适应算法。

变式。 仍用同一算法，但只在最初两步提供独立方向，以后始终取零。有限数据的最小二乘可能已经可唯一辨识，但后续每个窗口不再有统一正下界，不能称为持续激励；梯度误差也会停在当时的数值。

系统辨识中也常对准平稳输入，以其自相关构成的有限阶Toeplitz矩阵正定定义“某阶持续激励”。这与本篇要求每个时间窗口都有统一正下界的条件，不能不经检验就当作同一个假设。有限或长期平均信息是否足够、是否需要每窗一致，取决于具体估计方法的收敛命题。

在系统辨识中，输入的PE阶数还与模型阶数、回归向量如何由过去数据构造有关。实验需在安全和资源限制下设计，不能单纯用大振幅代替秩与信息分析。