指数与分数指数幂

分数指数幂把开方与乘方写成同一种运算。对正数 $a$ 、整数 $m$ 和正整数 $n$ ，约定 $a^{m / n} = \sqrt[n]{a^{m}} = (\sqrt[n]{a})^{m} .$ 这一约定让指数的运算法则与整数指数一致，也为把任意实数放进指数位置的指数函数作准备。根号与分式指数并非两套互不相干的计算。

n 次方根先要有实数意义

$x^{n} = a$ 的实数解称为 $a$ 的 n 次方根。奇数 n 时，每个实数 $a$ 都有唯一实根，例如 $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ ；偶数 n 时，负数没有实根，非负数有一个非负的主根。 $\sqrt{9} = 3$ 表示非负主根，方程 $x^{2} = 9$ 却有 $x = \pm 3$ 两个解，不能混同。

特别地， $\sqrt{x^{2}} = | x |$ ，因为平方根输出非负。若 $x = - 3$ ，左边是 $\sqrt{9} = 3$ ，不是 $- 3$ 。这个绝对值在解方程和化简根式时不能省略。

由平方根走到指数规则

以 $1 6^{3 / 4}$ 为例：先取四次方根 $\sqrt[4]{16} = 2$ ，再立方，得到 $2^{3} = 8$ ；先算 $1 6^{3}$ 再取四次方根也得到 8。正底数保证这些步骤有统一的实数意义。

对 $a > 0$ ，把正指数、零指数和负指数连起来： $a^{0} = 1$ 、 $a^{- r} = 1 / a^{r}$ 。于是 $8^{- 2 / 3} = 1 / (\sqrt[3]{8})^{2} = 1 / 4$ 。同底数相乘时指数相加， $a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ ；相除时指数相减。例子 $1 6^{1 / 4} 1 6^{3 / 4} = 1 6^{1} = 16$ 也可由 $2 \times 8$ 核验。

底数为零时，零指数和负指数不能按上述规则随意定义；负底数遇到不同分母时，分数指数写法可能不再有一致的实值。例如 $(- 8)^{1 / 3} = - 2$ 可作为实立方根，但统一讨论一般实数指数时通常先要求底数为正。

无理指数如何理解

$2^{\sqrt{2}}$ 不能写成一个固定次数的根式。可以选越来越接近 $\sqrt{2}$ 的有理数 $r_{k}$ ，让 $2^{r_{k}}$ 逐渐接近同一个值，以此定义 $2^{\sqrt{2}}$ ；不同逼近序列给出相同极限。这一步需要实数的连续性支撑，不是把 $\sqrt{2}$ 偷换成一个小数截断值。高中阶段先掌握它仍满足正底数指数的运算法则，再到数列的极限学习极限的严格基础。

练习：化简 $2 7^{2 / 3}$ 与 $9^{- 1 / 2}$ 。前者先取立方根 3，再平方得 9；后者先取平方根 3，再取倒数得 $1 / 3$ 。

参考资料

OpenStax，《Precalculus 2e》，§4.1：实数指数与指数函数基础。
继续阅读：指数函数、对数与对数函数。