放射性衰变与半衰期

有些原子核不稳定，会自发变成其他核素并放出粒子或辐射。对单个原子核，不能预报它恰在何时衰变；对大量同种未衰变的核，若环境及核种不变，可以用统计规律预测平均剩余数量。这里的数量 $N (t)$ 专指原来那一种母核，不把生成的子核算进去。

从每核概率到指数规律

设每个母核在很短时间 $d t$ 内衰变的概率近似为 $λ d t$ ， $λ > 0$ 为衰变常数，单位是时间的倒数。剩余母核越多，单位时间的平均减少量越大，即 $d N / d t = - λ N$ 。把变量分开并从 $0$ 时刻的 $N_{0}$ 积分到 $t$ 时刻的 $N$ ： $\int_{N_{0}}^{N} \frac{d N^{'}}{N^{'}} = - λ \int_{0}^{t} d t^{'} ⟹ \ln \frac{N}{N_{0}} = - λ t, N (t) = N_{0} e^{- λ t} .$ 半衰期 $T_{1 / 2}$ 是平均剩余数量降为原来一半所需的时间。令 $N (T_{1 / 2}) = N_{0} / 2$ ，可得 $λ T_{1 / 2} = \ln 2$ ，于是 $T_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ}, N (t) = N_{0}, 2^{- t / T_{1 / 2}} .$

剩余母核平均数量随时间按指数曲线下降；零、一、二、三个半衰期处分别为初始数量的全部、二分之一、四分之一、八分之一 — 半衰期每次把当时的剩余量减半，不是每次减去同一个固定数量。

三个半衰期之后

假想样品起初有 $N_{0} = 8000$ 个同种母核，半衰期为 $5$ 年。经过 $15$ 年是三个半衰期，平均剩余 $8000 \times (1 / 2)^{3} = 1000$ 个，平均已衰变 $7000$ 个。若样品只有很少几个原子核，实际剩余整数可能偏离这个平均值，不能把指数式解释为“每个原子核都恰在第五年衰变”。

活度 $A = λ N$ 是单位时间的平均衰变次数；若 $λ$ 以 $s^{- 1}$ 计，活度单位 $1 B q = 1$ 次每秒。由于 $A$ 与 $N$ 成正比，同一样品在没有额外生成母核的条件下，活度也按相同半衰期下降。用衰变推年龄时，还要说明初始母核或子核的数量如何确定，以及样品自形成后是否可视为封闭；只有半衰期本身并不能直接给出年龄。

参考资料

OpenStax《University Physics》10.3，衰变常数、半衰期与活度。
OpenStax《University Physics》10.1，核素与原子核的基本性质。