敏感性分析

敏感性分析考察模型的资源上限、单位收益等输入变动时，最优值与最优方案怎样变动。它回答的是“在已经写明的模型里，改一个数会怎样”；若真实世界的成本结构、约束或需求机制改变，旧模型给出的影子价格就不再自动适用。

两种资源的基准方案

设 $x, y$ 是两种可连续分割产品的产量，收益分别为 5、4。第一种资源总量记为 $b \geq 0$ ，每单位产品分别消耗 2、1；第二种资源总量为 6，分别消耗 1、2。模型为 $V (b) = max {5 x + 4 y : 2 x + y \leq b, x + 2 y \leq 6, x, y \geq 0} .$ 在 $b = 6$ 时，两条资源边界的交点满足 $2 x + y = 6$ 与 $x + 2 y = 6$ ，相减得 $x = y = 2$ ，收益 18。把第一条约束乘以 2、第二条乘以 1 并相加，有 $5 x + 4 y \leq 2 b + 6$ 。在 $b = 6$ 时该上界也是 18，故交点全局最优。

资源改变时的三个区间

暂保持两种资源都用尽，解方程组得 $x = \frac{2 b - 6}{3}, y = \frac{12 - b}{3}, 5 x + 4 y = 2 b + 6.$ 这套方案只有在 $3 \leq b \leq 12$ 时两个产量都非负。区间内它达到刚才对所有可行点成立的上界，所以确实最优；这一步既证明答案，也说明不能把公式无条件向外延伸。

当 $0 \leq b \leq 3$ 时可取 $x = 0, y = b$ 。第二种资源耗用 $2 b \leq 6$ ；且任意可行点满足 $5 x + 4 y \leq 4 (2 x + y) \leq 4 b$ ，故最优值为 $4 b$ 。当 $b \geq 12$ 时可取 $x = 6, y = 0$ ，第一种资源耗用 12；对任意可行点， $5 x + 4 y \leq 5 (x + 2 y) \leq 30$ ，所以最优值固定为 30。合起来得到 $V (b) = {\begin{matrix} 4 b, & 0 \leq b \leq 3, \\ 2 b + 6, & 3 \leq b \leq 12, \\ 30, & b \geq 12. \end{matrix}$ 在基准值 $b = 6$ 附近，多一单位第一资源使最优收益多 2；在 $b > 12$ 时再增加它已无收益。折点对应最优产品组合改变。这里“影子价格”是分段函数的局部斜率，不是对任何规模变动都不变的市场报价。

例如第一资源由基准的 6 降到 4，交点公式给 $x = 2 / 3, y = 8 / 3$ ，收益为 14，恰比原来的 18 少 4；这与在 $3 < b < 12$ 区间内每单位资源价值为 2 一致。若从 6 增加到 13，直接乘“每单位价值 2”会错误地预测收益 32；实际在 $b = 12$ 后第二种资源已成为唯一瓶颈，最优值只能是 30。折点处左右斜率不同，所以不应只报一个没有适用区间的“边际收益”数字。

单位收益变动的允许范围

现在固定 $b = 6$ ，把 $x$ 的单位收益从 5 改成 $c$ ，而 $y$ 仍为 4。若仍希望 $(2, 2)$ 最优，可以把目标写为两个约束左边的非负组合： $c x + 4 y = u (2 x + y) + v (x + 2 y), u = \frac{2 c - 4}{3}, v = \frac{8 - c}{3} .$ 当 $2 \leq c \leq 8$ ，有 $u, v \geq 0$ ，故每个可行点的收益都不超过 $6 u + 6 v$ ； $(2, 2)$ 同时用尽两种资源，恰好达到上界。若 $c = 9$ ，这个证明不再成立，实际最优会转向 $(3, 0)$ ，收益 27，而旧方案只有 26。区间端点可能出现不唯一最优；“方案仍可最优”不等于“最优方案完全不变”。

这类分析依赖线性规划的对偶结构。若成本随产量变化、产量必须为整数、或增加新资源限制，就要重新建模和求解，不能沿用这两段线性斜率。

以 $c = 9$ 为例，还能单独证明新方案最优：因为 $y \geq 0$ ， $9 x + 4 y \leq \frac{9}{2} (2 x + y) \leq \frac{9}{2} \cdot 6 = 27.$ 点 $(3, 0)$ 同时满足两条资源约束且收益为 27，所以它确实达到上界。这个复核比单看“旧权重变成负数”更充分：原对偶权重失效，只说明旧证明不能用了，本身并不告诉我们新最优点在哪里。

参考资料

MIT 15.093J《Sensitivity Analysis》，讨论影子价格与适用区间。
Boyd、Vandenberghe《Convex Optimization》，第5章讨论对偶变量与扰动分析。