斜对称矩阵

斜对称矩阵（skew-symmetric matrix，也称反对称矩阵）是满足 $A^{𝖳}=-A$ 的方阵。在实数域上，其对角元为零，非对角元关于主对角线互为相反数。它描述瞬时旋转方向，与有限角度的旋转矩阵是不同对象。

例如 $K=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right)$ 将 $(1,0)$ 送到 $(0,2)$，将 $(0,1)$ 送到 $(-2,0)$。输出垂直于输入，方向对应逆时针旋转的瞬时速度。

二次型为零

对任意实列向量 $x$，数 $s=x^{𝖳}Ax$ 等于自己的转置。若 $A$ 斜对称，便有 $$s=s^{𝖳}=x^{𝖳}{A}^{𝖳}x=-x^{𝖳}Ax=-s,$$ 所以 $s=0$。这说明 $x$ 与 $Ax$ 正交。反过来，若实矩阵满足 $x^{𝖳}Ax=0$ 对所有 $x$ 成立，取 $x=e_i$ 得 $a_{ii}=0$，取 $x=e_i+e_j$ 得 $a_{ij}+a_{ji}=0$，故它斜对称。

这个结论解释了一般实矩阵的唯一分解 $$B=S+K,S=\frac{B+B^{𝖳}}{2},K=\frac{B-B^{𝖳}}{2}.$$ 其中 $S$ 对称、$K$ 斜对称，且 $x^{𝖳}Bx=x^{𝖳}Sx$。因此只从二次型无法恢复矩阵的斜对称部分。

从瞬时速度到旋转

设实向量随时间满足 $x^{\prime }=Kx$，$K^{𝖳}=-K$ 为常矩阵。长度平方的导数为 $$\frac{d}{dt}(x^{𝖳}x)=x^{𝖳}(K^{𝖳}+K)x=0.$$ 解的传播矩阵 $Q(t)=e^{tK}$ 因而保长度。也可直接计算 $$Q(t{)}^{𝖳}Q(t)=e^{-tK}{e}^{tK}=I.$$ 这里两个指数的指数矩阵交换，所以能合并。

主例中 $K^2=-4I$。指数级数的偶次项聚成余弦，奇次项聚成正弦，得到 $$e^{tK}=\left(\begin{array}{cc}\cos 2t& -\sin 2t\\ \sin 2t& \cos 2t\end{array}\right).$$ 例如 $x(0)=(3,4)$，在 $t=\pi /4$ 时转过九十度，输出 $(-4,3)$，长度仍为五。

矩阵K给切向速度；指数矩阵才把点沿圆移动一段有限角度。

奇数阶的奇异性与复数约定

若 $A$ 为奇数阶实斜对称矩阵，则 $$\begin{array}{cc}detA& =det{A}^{𝖳}=det(-A)\\ & =(-1{)}^{n}detA\\ & =-detA,\end{array}$$ 从而 $detA=0$。偶数阶没有这一必然性，主例的行列式为四。

复数域上需区分 $A^{𝖳}=-A$ 与 $A^{\ast }=-A$，后者称斜 Hermitian。保证复欧氏长度保持的是后者。比如 $A=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ -i& 0\end{array}\right)$ 按转置是斜对称，却同时为 Hermitian；对 $x=(1,i)$，$x^{\ast }Ax=-2$，并不为零。因此不能把实数证明中的转置直接换成复内积而不修改条件。

变式取 $K=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -3& 0\end{array}\right)$，角速度改为负三；从 $(2,0)$ 出发，在 $t=\pi /6$ 到达 $(0,-2)$。符号决定旋转方向，绝对值决定角速度。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§7A、9A（转置、双线性型与二次型）；本文例子与图解独立构造。