最优控制

最优控制在系统动力学、起点和约束既定时，选择一段随时间变化的控制输入，使整段运动的代价最小。它与只在一个时刻选一个数的普通优化不同：今天的控制会改变明天的状态，明天可用的控制又受这个状态限制。软着陆、库存调度和储能充放电都具有这种结构。

两步到达目标

一辆小车沿直线运动，以下用一个经过无量纲化的离散模型说明方法：$x_{k+1}=x_k+u_k$，$x_0=0$，两步后要求 $x_2=4$，每步控制满足 $|u_k|\le 3$。假设使用控制的代价为 $J=u_0^2+u_1^2$。由状态递推，$x_1=u_0$、$x_2=u_0+u_1$，所以终点要求等价于 $u_0+u_1=4$。

固定和为四时， $$u_0^2+u_1^2=\frac{(u_0+u_1{)}^2+(u_0-u_1{)}^2}{2}=8+\frac{(u_0-u_1{)}^2}{2}\ge 8.$$ 等号仅在 $u_0=u_1=2$ 时成立，且两步控制都未超过三，故它是全局最优，轨迹为 $0\to 2\to 4$。若途中设有窄通道，要求 $x_1\le 1$，则 $u_0\le 1$；而 $u_1=4-u_0\le 3$ 又迫使 $u_0\ge 1$。唯一可行控制变成 $(u_0,u_1)=(1,3)$，代价十。只检查终点而忽略中途状态，会把不可通行的低代价轨迹误判为答案。

终端条件相同，途中状态约束改变了最优控制与代价。

连续时间的标准形式

状态 $x(t)$ 可以包含位置、速度、库存或电池电量；控制 $u(t)$ 可以是推力、生产率或充电功率。一般模型由微分方程与约束组成： $$\dot{x}(t)=f(x(t),u(t),t),x(0)=x_0,u(t)\in U,x(t)\in X.$$ 选择整段 $u(t)$，使 $$J=\Phi (x(T))+{\int }_0^{T}L(x(t),u(t),t)dt$$ 最小。$L$ 是运行代价，$\Phi$ 是终点代价；若终点必须等于指定值，要写成硬约束 $x(T)=x_T$，不能仅靠一个较小的终点惩罚系数假装“已经到达”。目标函数每一项须能相加，例如若燃料与时间并列，要说明权重如何把不同单位转换成同一个可比较的量。

将时间分成 $N$ 段、步长 $\Delta t$，一种直接离散近似是 $x_{k+1}=x_k+\Delta tf(x_k,u_k,t_k)$，再最小化 $\Phi (x_N)+\sum _{k=0}^{N-1}\Delta tL(x_k,u_k,t_k)$。这相当于同时选择各步的控制和状态，并用递推等式绑住它们。若动力学变化快，欧拉离散误差可能使“离散可行”在连续系统里越界，需要缩小步长或采用更合适的积分法，并在原方程中重算轨迹。优化器的成功状态也不证明物理参数正确。

从模型到实际控制

上面的两步算例由平方恒等式直接证明最优；更复杂的模型可用动态规划、间接法的最优性条件，或离散后交给非线性规划求解。控制上下界、终端时间、路径障碍和状态测量误差应单独列出，不要只呈现目标函数。对于会持续收到新观测的系统，模型预测控制会每次重算未来一段计划、只执行第一段，再根据新状态继续优化；这里它是滚动控制方法的名称，不能把一次预先算出的开环轨迹误写成反馈策略。

验收应同时检查起点、终点、全时段控制上下界、路径约束和代价；再用扰动后的初始位置、质量或阻力做敏感性分析。如果状态不可直接观测，先要用状态估计处理测量不确定性，但估计误差仍须进入安全裕度或鲁棒控制分析。

参考资料与相关词条

• MIT 16.485：轨迹优化中的状态、控制、终点与路径约束。
• MIT 16.323：滚动时域的模型预测控制。
• 相关：微分方程、动态规划、鲁棒优化。