条件风险价值

条件风险价值（conditional value-at-risk，CVaR）衡量损失分布中最坏一部分概率质量的平均损失。约定损失越大越不利，置信水平为 $0<\alpha <1$，所考察的尾部概率为 $1-\alpha$。离散分布在分位数处可能集中一整块概率，尾部只需取其中一部分；这正是它与直接条件平均容易混淆的地方。

三种损失与部分尾部

设损失L以概率1/2、3/10、1/5分别取0、2、10。置信水平 $\alpha =7/10$ 时，下分位数即风险价值为 $$q={\mathrm{VaR}}_{\alpha }(L)=inf\{t:Pr(L\le t)\ge \alpha \}=2.$$ 最坏三成概率包含全部的“损失10”情景，占两成；还需要从“损失2”的三成概率中取一成，才能凑齐三成。所以 $${\mathrm{CVaR}}_{0.7}(L)=\frac{(1/5)\cdot 10+(1/10)\cdot 2}{3/10}=\frac{22}{3}\approx \mathrm{7.333333.}$$ 直接算 $𝔼[L\mid L\ge 2]=(2+3/5)/(1/2)=26/5=5.2$，却把损失2的全部三成概率都放进了尾部；而 $𝔼[L\mid L>2]=10$ 又只取了两成。两者都不是这里的CVaR。

损失十的两成质量全部选入，损失二的三成质量只选入一成；金色总质量为0.3。

有解变式取 $\alpha =0.8$，尾部只需两成，恰好全部由损失10构成，所以CVaR为10。此时按下分位数约定，VaR仍为2；只要稍微提高α，VaR便跳到10。概率质量的边界与分位数约定必须一并说明。

一个把尾部写成最小值的定义

对任意实值可积损失 $𝔼|L|<\mathrm{\infty }$，定义 $${\mathrm{CVaR}}_{\alpha }(L)=\underset{t\in ℝ}{min}{\Psi }_{\alpha }(t),{\Psi }_{\alpha }(t)=t+\frac{𝔼(L-t{)}_{+}}{1-\alpha }.$$ t是可调阈值。第一项提高基准，第二项只累计超过阈值的部分；二者平衡便选出正确分位数。该变分公式适用于有原子的分布，不能仅用连续分布的条件期望公式代替。

下面证明阈值和部分尾部的关系。对每个固定损失值，$(L-t{)}_{+}$ 关于t凸，故其期望以及Ψ均凸且有限。并且 $\Psi (t)\ge t$，当t趋于正无穷时趋于正无穷；由 $(L-t{)}_{+}\ge L-t$ 又得 $\Psi (t)\ge [𝔼L-\alpha t]/(1-\alpha )$，当t趋于负无穷时也趋于正无穷。连续凸函数因而达到最小值。

正部函数关于t的左导数是 $-{\mathrm{𝟏}}_{\{L\ge t\}}$，右导数是 $-{\mathrm{𝟏}}_{\{L>t\}}$。差商绝对值不超过一，可将极限移入期望。令 $F(t)=Pr(L\le t)$，便得到 $$\Psi {\text{'}}_{-}(t)=\frac{F(t^{-})-\alpha }{1-\alpha },\Psi {\text{'}}_{+}(t)=\frac{F(t)-\alpha }{1-\alpha }.$$ 凸函数在t最小，当且仅当左斜率不正、右斜率不负，即 $F(t^{-})\le \alpha \le F(t)$。因此下分位数q必是最小阈值之一；当F在α处有水平区段时，最优阈值还可能是一整段。

在q处展开正部期望，有 $${\mathrm{CVaR}}_{\alpha }(L)=\frac{𝔼[L{\mathrm{𝟏}}_{\{L>q\}}]+q[F(q)-\alpha ]}{1-\alpha }.$$ 严格超过q的概率为 $1-F(q)$，还差的尾部质量是 $F(q)-\alpha$；由分位数条件，该差不超过q处的原子概率。于是公式恰好是“取最坏的 $1-\alpha$ 质量再平均”，主例的一成部分质量由此导出。连续分布在该分位数无原子时，补入量为零，才化成通常的上尾条件平均。

α为0.7时最优阈值为二；α为0.8时从二到十整段目标恒为十。

主例中 ${\Psi }_{0.7}(2)=22/3$，阈值2唯一最优；变式 ${\Psi }_{0.8}(t)=10$ 对所有 $t\in [2,10]$ 成立。CVaR的值唯一不代表最优阈值唯一，程序若只返回其中一个阈值也不应宣称找到全部最优阈值。

情景规划、凸性与概率约束

若S个情景损失为 $L_s(x)$，概率 $p_s\ge 0$、总和一且不随x改变，可引入 $u_s\ge 0$、$u_s\ge L_s(x)-t$，最小化 $t+\sum _s{p}_s{u}_s/(1-\alpha )$。给定x,t后取最小可行u即为正部，因此与原变分式等价。损失仿射、决策硬约束线性时得到线性规划；损失关于x凸时，联合目标 $t+\sum _s{p}_{s}max(L_s(x)-t,0)/(1-\alpha )$ 凸，对t取最小仍给x的凸函数。后者可由任意两组决策与最优阈值的凸组合直接验证。

由q处公式或 $\Psi (q)\ge q$ 可知CVaR不小于VaR。因此 ${\mathrm{CVaR}}_{\alpha }(Z)\le 0$ 蕴含 $Pr(Z\le 0)\ge \alpha$，可作为机会约束的一种保守替代，反向一般不成立。例：Z以九成概率为−100、一成概率为1，$Pr(Z\le 0)=0.9$，但 ${\mathrm{CVaR}}_{0.9}(Z)=1>0$。CVaR还约束尾部损失大小，概率约束只限制是否越界。

两条独立计算路径

下例使用 Python 3 标准库有理数，先在所有有正概率的损失断点计算Ψ，再独立从最大损失向下截取指定尾部质量，两条路径必须一致。输入有限“损失、概率”对和α；概率用十进制数、字符串或Fraction精确指定，总和须恰为一。函数复制合并输入，返回下VaR、CVaR、达到最小值的断点及被截取的质量，不改写输入。枚举S个断点各求一次S项和需 $O(S^2)$ 算术操作，另需排序；空间为 $O(S)$，有理数位数成本另计。

Python 3

from fractions import Fraction

def finite_cvar(scenarios,alpha):
    alpha = Fraction(str(alpha))
    if not 0 < alpha < 1:
        raise ValueError("alpha must lie strictly between zero and one")
    masses = {}
    for loss,probability in scenarios:
        z,p = Fraction(str(loss)),Fraction(str(probability))
        if p < 0:
            raise ValueError("nonnegative probabilities required")
        if p:
            masses[z] = masses.get(z,Fraction(0))+p
    if sum(masses.values()) != 1:
        raise ValueError("probabilities must sum exactly to one")
    ordered = sorted(masses.items())
    cdf,q = Fraction(0),None
    for z,p in ordered:
        cdf += p
        if q is None and cdf >= alpha:
            q = z
    psi = lambda t:t+sum(p*max(z-t,0) for z,p in ordered)/(1-alpha)
    table = [(t,psi(t)) for t,_ in ordered]
    value = min(v for _,v in table)
    optimal_breakpoints = [t for t,v in table if v == value]
    remaining,numerator,tail = 1-alpha,Fraction(0),[]
    for z,p in reversed(ordered):
        used = min(p,remaining)
        if used:
            tail.append((z,used))
            numerator += z*used
            remaining -= used
        if not remaining:
            break
    assert numerator/(1-alpha) == value
    return q,value,optimal_breakpoints,tail

data = [(0,.5),(2,.3),(10,.2)]
for alpha in (.7,.8):
    print(alpha,finite_cvar(data,alpha))
assert finite_cvar(data,.7)[1] == Fraction(22,3)
assert finite_cvar([(-100,.9),(1,.1)],.9)[1] == 1

输出α=0.7时VaR为2、CVaR为22/3，尾部由损失10的1/5和损失2的1/10组成；α=0.8时CVaR为10，最优断点为2、10，两者之间整段也最优。若损失不可积，有限实数的论证失效；若用抽样情景估计原分布，程序精确得到的是情景模型的风险，仍须另查抽样与模型误差。