极分解

极分解（polar decomposition）把线性变换分成一次 Hermitian 半正定伸缩和一次酉变换。对方阵 $A\in {ℂ}^{n\times n}$，可写 $$A=UH,U^{\ast }U=I,H=H^{\ast }⪰0.$$ 实矩阵时可取 $U$ 正交、$H$ 实对称半正定。这是复数 $z=e^{i\theta }|z|$ 的矩阵版本，但左右乘法的次序不能随意交换。

伸缩部分由A唯一确定

若已知 $A=UH$，则 $A^{\ast }A=H{U}^{\ast }UH=H^2$，所以 $$H=(A^{\ast }A{)}^{1/2}.$$ 右侧是唯一的半正定平方根。若 $A$ 可逆，$H$ 也可逆，便只能取 $U=A{H}^{-1}$；且 $U^{\ast }U=H^{-1}{A}^{\ast }A{H}^{-1}=I$，同时证明存在性和唯一性。

对奇异方阵也有分解。取完整奇异值分解 $A=W\Sigma V^{\ast }$，其中 $W,V$ 均酉、$\Sigma$ 非负对角。令 $$U=W{V}^{\ast },H=V\Sigma V^{\ast },$$ 直接相乘就得 $UH=A$。这种构造始终适用，避免了对奇异 $H$ 求逆。

先伸缩再旋转的算例

取 $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$。先算 $A^{𝖳}A=\mathrm{diag}(4,1)$，所以 $$H=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right),U=A{H}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$$ $H$ 将水平方向放大两倍，竖直方向不变；$U$ 再逆时针转九十度。对 $x=(1,1)$，路径为 $(1,1)\mapsto (2,1)\mapsto (-1,2)$，与直接算 $Ax$ 一致。

第一步只伸缩；箭头表示横向单位向量被放大到2,0。

圆先变成横向长椭圆。第二步再把整个椭圆转向：

最终的竖直长轴来自先伸缩后旋转。若交换乘法顺序，得到的通常是另一变换。

例如 $HU{e}_1=H{e}_2=e_2$，而 $UH{e}_1=2e_2$，已经说明 $UH\ne HU$。另一个左极分解可写为 $A=KU$，其中 $K=(A{A}^{\ast }{)}^{1/2}$；不能把原来的 $H$ 原封不动移到左侧。

奇异时自由的方向

对 $A=\mathrm{diag}(2,0)$，伸缩部分仍为 $H=\mathrm{diag}(2,0)$。但无论 $U=I$ 还是 $U=\mathrm{diag}(1,-1)$，都有 $UH=A$。原因是第二个方向已被 $H$ 消掉，其后朝哪个方向变换不再影响输出。

更具体地，酉因子在 $\mathrm{im}H$ 上由 $U(Hx)=Ax$ 确定；核方向如何补成全空间的酉变换却可能有多个选择。若改用规范的部分等距极分解，可进一步规定核，但那与本篇允许完整酉因子的约定不同。

变式取 $B=\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ 1& 0\end{array}\right)$。有 $B^{𝖳}B=\mathrm{diag}(1,9)$，故 $H=\mathrm{diag}(1,3)$，旋转因子仍是主例的 $U$。旋转方向未改变，被放大的输入方向却由横向改成竖向。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§7F（极分解）、7C（半正定平方根）；本文例子与图解独立构造。