模型预测控制

模型预测控制（model predictive control，MPC）在每个采样时刻利用模型预测未来若干步，求解一个带约束的有限时域优化问题，只执行所求序列的第一步；得到新状态或观测后，再向前滚动求解。它把输入和状态限制显式放进规划，但预测准确、优化可行与闭环稳定仍是需要分别检查的性质。

预测序列与真正执行的输入

考虑无量纲离散积分器 $x_{k+1}=x_k+u_k$，$|u_k|\le 1$。在当前状态 $x$，预测两步，最小化 $$J=u_0^2+u_1^2+x_2^2,x_1=x+u_0,x_2=x+u_0+u_1.$$ 这是凸二次问题。交换 $u_0,u_1$ 不改变目标和约束，且目标严格凸，所以唯一解必须满足 $u_0=u_1=a$。代回得到 $J=2a^2+(x+2a{)}^2$，导数为 $12a+4x$，故 $$a_{\ast }=\mathrm{clip}(-x/3,-1,1).$$ 这里clip把数值限制在闭区间内。只执行第一步 $u_k=a_{\ast }$，下一时刻重新用新的 $x_{k+1}$ 求解。

取 $x_0=3$，第一轮预测输入 $(-1,-1)$、预测状态 $(3,2,1)$。实际执行一个负一后到达二，第二轮重新预测的输入是 $(-2/3,-2/3)$，实际下一状态变成 $4/3$，而非上一轮预测的一。没有扰动也会出现这种变化，因为每次都把新的终点放到两步以后。

虚线是最初只规划两步的状态序列；实线是每一步重新规划得到的实际轨迹。只执行第一步是MPC的组成部分。

本例闭环稳定性的证明

当 $|x_k|\le 3$ 时，控制未超限，$x_{k+1}=2x_k/3$。当 $|x_k|>3$ 时，控制与状态异号且幅值一，故 $|x_{k+1}|=|x_k|-1$，有限步内进入 $[-3,3]$。进入后几何衰减至零，说明这个特定模型和目标的闭环全局渐近稳定。

这不是任意MPC的普遍证明。若本例去掉终端项、又不增加阶段状态代价，目标只剩 $u_0^2+u_1^2$，最优输入恒为零，非零状态完全不动。更一般的设计可用终端成本、终端不变集合和可行序列移位论证递归可行性与稳定性；存在扰动时还需要相应鲁棒设计。

标量实例的Python计算

下面直接使用已证明的解析优化解，不是通用二次规划求解器。输入为有限初态和非负步数，不改输入，返回每步状态与控制；时间和返回数据空间均为 $O(N)$。

Python 3

import math

def scalar_mpc(x0, steps):
    if not math.isfinite(x0) or type(steps) is not int or steps < 0:
        raise ValueError("finite initial state and nonnegative integer steps required")
    x = float(x0)
    states, controls = [x], []
    for _ in range(steps):
        u = max(-1.0, min(1.0, -x / 3.0))
        x = x + u
        controls.append(u)
        states.append(x)
    return states, controls

print(scalar_mpc(3, 4))

输出状态约为 $(3,2,1.333333,0.888889,0.592593)$，前四个控制为 $(-1,-2/3,-4/9,-8/27)$。变式。 从 $x_0=5$ 出发，先以满幅负一到四、三，再进入几何衰减阶段；零步输入返回仅含初态的状态表。

若加上状态约束、非线性动力学或更长预测时域，解析clip不再通用。实际部署还要将估计误差、采样周期与在线求解耗时纳入模型，不能仅凭离线规划可行就断言在线闭环安全。