正交补

在带内积的空间中，两个向量内积为零称正交。子空间 $W$ 的正交补记为 $W^{⊥}$ ，由所有与 $W$ 每个向量都正交的向量组成： $W^{⊥} = {v : ⟨ v, w ⟩ = 0 对所有 w \in W} .$ 只检验 $W$ 的一组基就够了，因为内积对线性组合保持线性。

一条线的垂直方向

令 $W = span {(1, 1)} \subset ℝ^{2}$ 。向量 $(x, y)$ 与生成向量正交当且仅当 $x + y = 0$ ，故 $W^{⊥} = {(t, - t) : t \in ℝ} = span {(1, - 1)} .$ $(3, 2)$ 可唯一写成 $(5 / 2, 5 / 2) + (1 / 2, - 1 / 2)$ ，前一项在 $W$ 中，后一项在 $W^{⊥}$ 中。正交投影取的正是第一项。

在有限维欧氏空间里，每个向量都能唯一分解为 $w + z$ ，其中 $w \in W, z \in W^{⊥}$ ，于是 $\dim W + \dim W^{⊥} = n$ 。不要把正交补理解成普通集合补集：零向量同时属于 $W$ 和 $W^{⊥}$ ，而 $W^{⊥}$ 本身也是子空间。若内积换了权重，哪些方向正交也可能改变，必须先说明所用内积。

这一分解可实际构造。取 $W$ 的正交规范基 $q_{1}, \dots, q_{r}$ ，对给定 $v$ 令 $w = \sum_{i = 1}^{r} (v \cdot q_{i}) q_{i}$ 、 $z = v - w$ 。每个 $z \cdot q_{j} = v \cdot q_{j} - (v \cdot q_{j}) = 0$ ，故 $z \in W^{⊥}$ 。若还有另一种分解，两个 $W$ 部分之差既属于 $W$ 又属于 $W^{⊥}$ ，它与自身内积为零，只能是零向量，因而分解唯一。把上述 $q_{i}$ 扩充为整个空间的正交规范基，就得到维数公式。

参考资料

MIT 18.06 Linear Algebra，Lecture 14: Orthogonal Vectors and Subspaces。
MIT RES.18-011《Algebra I》：线性空间与谱定理。
继续阅读：向量空间、正交投影、柯西不等式。