正定矩阵

实对称矩阵 $A$ 若对每个非零向量 $x$ 都有 $x^{T}Ax>0$，称为正定矩阵。它对应的二次型在原点以外全为正，因而把“每个方向都向上弯”变成可以计算的条件。

一张二阶矩阵的检验

取 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$。其二次型 $$Q(x,y)=2x^2+2xy+2y^2=2(x+y/2{)}^2+\frac{3}{2}{y}^2.$$ 两项只有在 $x=y=0$ 时才同时为零，所以 $A$ 正定。若用 $Q$ 表示一个二变量模型离最优点的代价，任何非零偏移都会增加代价。

对一般实对称 $2\times 2$ 矩阵 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$，若 $a>0$，配方得 $$a{x}^2+2bxy+c{y}^2=a(x+by/a{)}^2+\frac{ac-b^2}{a}{y}^2.$$ 于是正定的充分必要条件是 $a>0$ 且 $ac-b^2>0$。上例 $a=2$、行列式为3，符合条件。高维时可用实对称矩阵谱定理：所有特征值为正当且仅当矩阵正定。

容易误判的情形

“对角元素都正”还不够。$B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ 两个对角元素都是1，但取 $x=(1,-1{)}^T$，有 $x^{T}Bx=-2$，故并非正定。反过来若只满足 $x^{T}Ax\ge 0$，称半正定；零矩阵半正定却不正定。

若 $A$ 正定，$Ax=0$ 只能有零解，否则把非零解代入会得 $x^{T}Ax=0$，与定义冲突，所以 $A$ 可逆。正定性比可逆性更强：矩阵 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,-1)$ 可逆，但二次型可正可负。

参考资料

• MIT OpenCourseWare 18.06：Lecture 27 Positive Definite Matrices and Minima：正定性与极值。
• MIT OpenCourseWare 18.06SC：Positive Definite Matrices 相关讲义：特征值判据。