比例积分微分控制

比例积分微分控制（proportional–integral–derivative control，PID）把当前误差、误差随时间的累积和变化率组合成输入。比例项迅速回应偏差，积分项可消除适当条件下的恒定稳态偏差，微分项回应变化趋势；控制效果由被控对象、参数、测量噪声和执行器约束共同决定。

误差信号与三个系数

令参考值为 $r(t)$、输出为 $y(t)$、误差为 $e=r-y$。理想形式为 $$u(t)=K_{p}e(t)+K_i{\int }_0^{t}e(s)\mathrm{d}s+K_d\dot{e}(t).$$ 各系数的单位应使三项与输入同量纲。积分初值也是控制器状态的一部分。理想微分会放大高频噪声，工程实现通常增加低通滤波，或对测量值而非设定值求微分，以减小参考阶跃引起的冲击。

一阶对象中的比例与积分

构造归一化对象 $\dot{y}=-y+u+d$，恒定扰动 $d$，希望跟踪常数 $r$。只用比例控制 $u=K_p(r-y)$，稳态满足 $$y_{\mathrm{\infty }}=\frac{K_{p}r+d}{1+K_p},e_{\mathrm{\infty }}=\frac{r-d}{1+K_p}.$$ 例如 $r=1,d=0,K_p=2$，稳态输出只有 $2/3$；增加有限比例增益会减小但不完全消除这个偏差。

加入积分状态 $\dot{z}=r-y$，取 $u=2(r-y)+2z$。对恒定 $r,d$，误差满足 $\ddot{e}+3\dot{e}+2e=0$。在 $r=1,d=0,y(0)=z(0)=0$ 下，$e(0)=1,\dot{e}(0)=-2$，因此 $$e=e^{-2t},y=1-e^{-2t},z=\frac{1}{2}(1-e^{-2t}),u=1+e^{-2t}.$$ 积分状态最终为二分之一，维持输入一，使对象能够停留在输出一。

两条曲线来自相同一阶对象、相同参考阶跃和零初态；积分状态提供维持目标所需的非零稳态输入。

微分项与稳定条件

若理想PID作用于同一个对象且 $r$ 为常数，代入 $\dot{e}=-\dot{y}$ 得 $(1+K_d)\dot{y}=-(1+K_p)y+K_{p}r+K_{i}z+d$。闭环特征多项式为 $$(1+K_d)s^2+(1+K_p)s+K_i.$$ 当三个系数均严格为正时，这个二阶多项式的根实部均负，积分状态趋于平衡，从 $\dot{z}=0$ 得 $y=r$。这是本例的一阶对象结论，不能推广成“所有正PID参数都能稳定任意对象”；延迟、额外惯性或非最小相位特征会改变判据。

数值复核与饱和

下例仅模拟上述PI实例，采用显式Euler近似，步长减小时逼近解析轨迹；不求解一般PID调参。输入为步长和整数步数，不改写外部变量，返回输出序列，时间和返回空间均为 $O(N)$。

Python 3

import math

def simulate_pi(dt=0.01, steps=500):
    if not math.isfinite(dt) or not (0 < dt < 0.5):
        raise ValueError("step size must lie in (0, 0.5)")
    if type(steps) is not int or steps < 0:
        raise ValueError("steps must be a nonnegative integer")
    y, z = 0.0, 0.0
    outputs = [y]
    for _ in range(steps):
        error = 1.0 - y
        u = 2.0 * error + 2.0 * z
        y, z = y + dt * (-y + u), z + dt * error
        outputs.append(y)
    return outputs

ys = simulate_pi()
print(ys[-1])
print(1 - math.exp(-10))

输出接近一，与解析值 $1-e^{-10}$ 比较可见离散误差。若实际输入被夹在有限区间，误差仍可能使积分状态不断累积，造成饱和解除后的过度控制，称为积分饱和或积分累积；抗饱和设计需要把实际可用输入反馈给积分环节。

变式。 保持对象和PI参数，施加恒定 $d=1/2$。稳定平衡仍有 $y=1$，此时所需 $u=1/2$、$z=1/4$；若执行器无法提供所需稳态输入，积分也不能创造缺失的控制能力。