生成空间

向量 $v_{1}, \dots, v_{k}$ 的生成空间（span）由它们的全部线性组合构成： $span (v_{1}, \dots, v_{k}) = {c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k} : c_{i} \in ℝ} .$ 它是包含这些向量的最小线性子空间，因为任何包含所有 $v_{i}$ 的子空间也必须对加法和数乘封闭，从而包含它们的每种组合。

一条线或整个平面

在 $ℝ^{2}$ 中，单个非零向量 $(1, 1)$ 只生成过原点的直线 ${(t, t) : t \in ℝ}$ 。再加入 $(1, - 1)$ ，给定任意 $(x, y)$ ，解 $c_{1} (1, 1) + c_{2} (1, - 1) = (x, y) ⟹ c_{1} = \frac{x + y}{2}, c_{2} = \frac{x - y}{2} .$ 所以这两条向量生成整个平面。取 $(x, y) = (3, 1)$ 时，得到 $c_{1} = 2, c_{2} = 1$ ，直接核对 $2 (1, 1) + (1, - 1) = (3, 1)$ 。

能生成不等于表示唯一

$(1, 0), (0, 1), (1, 1)$ 也生成整个平面，但 $(1, 1)$ 本身等于前两向量之和，因此同一向量可能有多组系数表示。只有再要求线性无关，生成组才成为基，每个向量的系数表示才唯一。这个区别在解线性方程时体现为是否存在自由变量。

参考资料