电场与电势

在静电问题中，带电体会改变周围空间；放入另一电荷，它受到的力取决于位置。电场强度 $\overrightarrow{E}$ 用单位正试探电荷受到的力表示该位置的场，电势 $V$ 用单位正电荷具有的电势能表示该位置的能量尺度。前者是向量，后者是标量。

力与能量的两种读法

把足够小的试探电荷 $q$ 放在点 $P$，定义 $\overrightarrow{E}(P)=\overrightarrow{F}/q$；这里试探电荷要小到不显著改变原来的电荷分布。单位 $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ 也等于 $\mathrm{V}/\mathrm{m}$。若换成负电荷，受力方向与 $\overrightarrow{E}$ 相反，因为 $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$。

电势满足 $U=qV$。电势的零点可以选定，但两点电势差有可测意义。对静电场，场力从 A 到 B 做功等于势能减少： $$W_{A\to B}=q(V_A-V_B),V_B-V_A=-{\int }_A^B\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\ell }.$$ 第二式说明，沿电场方向前进时，电势下降。它也说明电场线与等势面正交：沿等势面的小位移不改变电势，场在该方向的分量为零。遇到随时间变化的磁场产生的感应电场时，不应不加条件地把整个电场写成同一静电势的梯度，见法拉第电磁感应定律。

沿箭头从高电势板到低电势板；一条等势线上的移动不改变电势。

平行板算例

在忽略边缘效应的平行板中央区域，左板 $120\mathrm{V}$、右板 $0\mathrm{V}$，间距 $d=0.020\mathrm{m}$。近似匀强场的大小为 $E=(120-0)/0.020=6000\mathrm{V}/\mathrm{m}$，方向从左到右。若放入 $q=+1.0\mathrm{n}\mathrm{C}$ 的粒子，由左到右走完板距，电场力做功 $$W=q\Delta V=(1.0\times 10^{-9}\mathrm{C})(120\mathrm{V})=1.2\times 10^{-7}\mathrm{J}.$$ 这里 $\Delta V$ 特指初末电势降 $V_A-V_B$；若写末减初 $V_B-V_A$，数值是 $-120\mathrm{V}$。负电荷受力向左，不能沿用正电荷的运动方向结论。板外和板缘附近，场不再均匀，$E=U/d$ 只适用于上述近似区域。

在另一类常见问题中，孤立正点电荷 $Q$ 在距它 $r$ 处产生的电场大小为 $E(r)=Q/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)$，方向向外；把无穷远电势取零时，电势为 $V(r)=Q/(4\pi {\epsilon }_{0}r)$。两式看起来一项按 $1/r^2$ 变化、一项按 $1/r$ 变化，是因为沿半径的场强是电势的负斜率：$E_r=-dV/dr$。这里假设真空中的静止点电荷；平行板的近似均匀场不能不经修改地套用同一个 $1/r^2$ 式。

参考资料

• OpenStax《University Physics》5.4，电场定义与叠加。
• OpenStax《University Physics》7.2，电势、电势差与电势能。