目标规划

目标规划（goal programming）先为若干指标指定期望水平，再最小化未达标或超标的偏差。它保留必须满足的硬约束，同时允许不同软目标之间妥协。目标值不是硬约束：偏离一个愿望可以支付代价，违反硬约束则仍不可行。

同时希望至少八件与至多六件

设生产量 $x\in [0,10]$，上界是硬产能限制。交付目标希望 $x\ge 8$，费用目标经换算希望 $x\le 6$。两愿望无法同时满足，定义不利偏差 $$d_1^{-}(x)=(8-x{)}_{+},d_2^{+}(x)=(x-6{)}_{+},a_{+}=max(a,0).$$ 第一项是交付不足，第二项是超预算对应的数量。若取等权目标 $P(x)=d_1^{-}(x)+d_2^{+}(x)$，当 $x\in [6,8]$ 时，$P=(8-x)+(x-6)=2$；区间外则严格更大。所以整个区间都是最优解，软化冲突目标并不保证唯一解。

六到八之间无法同时消去两种偏差，等权时二者之和恒为二。

例如x=7对应两种不利偏差均为一，x=8对应交付不足零、超预算二。两方案的罚值相同，不代表在实际业务中无区别；它只是当前模型明确表达的取舍。

偏差变量怎样变成等式

对指标 $f_i(x)$ 和目标水平 $g_i$，引入非负变量并写 $$f_i(x)+d_i^{-}-d_i^{+}=g_i,d_i^{-},d_i^{+}\ge 0.$$ 若只是不希望低于目标，罚 $d_i^{-}$；若只是不希望超过，罚 $d_i^{+}$；希望尽量接近则可同时罚两侧，且可用不同权重。主例的两式分别是 $x+d_1^{-}-d_1^{+}=8$、$x+d_2^{-}-d_2^{+}=6$，仅将 $d_1^{-}$ 与 $d_2^{+}$ 放进目标。

对给定x，若两偏差同时为正，可从二者各减去相同的较小值，等式不变。只要两者的罚权重之和为正，目标就严格下降。因此最优解中不会同时保留多余的正负偏差，最小偏差恰为正部公式。若两侧都不计代价，偏差变量可不唯一，但仍有这种规范表示。仿射指标、线性硬约束与线性偏差罚值构成线性规划；目标规划这个名称本身不要求所有模型都线性。

加权与优先级是两种取舍

取 $w_1,w_2>0$，主例的罚值完整分段为 $$P_w(x)=\{\begin{array}{cc}{w}_1(8-x),& 0\le x\le 6,\\ w_1(8-x)+w_2(x-6),& 6\le x\le 8,\\ w_2(x-6),& 8\le x\le 10.\end{array}$$ 左段严格递减、右段严格递增，中段斜率是 $w_2-w_1$，故 $w_1>w_2$ 时唯一解为八，$w_1<w_2$ 时唯一解为六，等权时解为整个[6,8]。这是覆盖连续可行区间的完整证明，检查少数整数本身不能得出该结论。

等权最优集为[6,8]；交付不足权重更大时选八，超预算权重更大时选六。

有解变式：令交付不足的权重为三、超预算权重为一，解为八，罚值二；反过来解为六，罚值二。偏差采用不同单位时，直接相加没有稳定意义，应报告相应单位、尺度及换算权重。

优先级或字典序方法则先把第一偏差减到最小，再在第一偏差保持最优的集合内优化第二偏差。主例若交付优先，第一阶段将集合限制为[8,10]，第二阶段选八；若预算优先，先限制到[0,6]，再选六。一般形式是从 $X_0=X$ 开始，逐级计算 $v_j=\underset{x\in X_{j-1}}{min}{P}_j(x)$、$X_j=\{x\in X_{j-1}:P_j(x)=v_j\}$，各阶段须有最小值才能继续。

一个很大的有限权重未必等同于字典序。若仅有两方案，偏差向量分别是(0,100)和(1,0)，权重(10,1)选择后者，而第一偏差优先的字典序必选前者。把本例中的100换成更大的数，可击败任意预先指定的有限第一权重。若有离散的最小改进量与已知后级范围，才可另证某个大权重足够。

运行一个覆盖连续区间的计算

代码按上面已证的分段线性结构检查端点和折点，同时返回最优区间。只用 Python 3 标准库，输入两个正权重，输出最小罚值、最优区间和折点表，不改写输入，固定四个点的成本为常数。它专用于正文的两个目标和产能范围；新增软目标会引入新折点，不能原样套用这四点。

Python 3

import math

def production_goals(w1=1.0,w2=1.0):
    if not all(math.isfinite(v) and v > 0 for v in (w1,w2)):
        raise ValueError("positive finite weights required")
    penalty = lambda x:w1*max(8-x,0)+w2*max(x-6,0)
    table = [(x,max(8-x,0),max(x-6,0),penalty(x)) for x in (0,6,8,10)]
    if w1 > w2:
        interval = (8,8)
    elif w1 < w2:
        interval = (6,6)
    else:
        interval = (6,8)
    return penalty(interval[0]),interval,table

for weights in [(1,1),(3,1),(1,3)]:
    print(weights,production_goals(*weights))
print("delivery-first",8,"budget-first",6)
assert production_goals()[1] == (6,8)

输出等权时的最优区间为(6,8)，权重(3,1)与(1,3)分别给(8,8)、(6,6)。硬约束本身若冲突仍可能无解；应由建模者决定哪些条件可以软化，而不是自动把所有约束改为愿望。若对超额完成也施罚，目标规划还可能选择被原始“越多越好”指标支配的点，不能无条件声称结果属于原多目标问题的帕累托前沿。