直和分解

直和分解（direct sum decomposition）把向量空间写成若干子空间之和，并要求每个向量的分量唯一。对于两个子空间， $V = U \oplus W$ 意味着每个 $v \in V$ 可以且只能写成 $v = u + w$ ，其中 $u \in U, w \in W$ 。两个方向未必垂直。

在实平面中取 $U = span (1, 0)$ 、 $W = span (1, 2)$ 。向量 $(5, 4)$ 分成 $(3, 0) + (2, 4)$ ；后一个分量沿斜线而不是沿竖轴。这已经是直和，尽管两条直线不正交。

向量5,4沿水平线及斜线1,2分解成3,0和2,4的平行四边形 — 直和保证分量唯一；垂直不是定义所要求的条件。

唯一性的可检验条件

对两个子空间，直和等价于 $V = U + W, U \cap W = {0} .$ 第一式保证分解存在。若 $u + w = u^{'} + w^{'}$ ，则 $u - u^{'} = w^{'} - w$ 同时属于 $U, W$ ；交集为零便迫使两部分分别相等，给出唯一性。反过来，若非零 $z \in U \cap W$ ，零向量有 $0 = 0 + 0 = z + (- z)$ 两种分解，唯一性失败。

有限维时还可使用 $\dim (U + W) = \dim U + \dim W - \dim (U \cap W)$ 。在主例中，两条直线仅交于原点，维数之和为二，所以其和就是整个平面。对任意 $(x, y)$ ，解 $(x, y) = a (1, 0) + b (1, 2)$ 得 $b = y / 2, a = x - y / 2.$ 这个公式既给存在性，也给一眼可检验的唯一性。

分量就是投影

由直和定义 $P_{U} (u + w) = u$ 、 $P_{W} (u + w) = w$ 。分解唯一使定义良好；加法与数乘逐分量进行，保证它们线性。并有 $\begin{matrix} P_{U}^{2} & = P_{U}, P_{W}^{2} = P_{W}, \\ P_{U} + P_{W} & = I, \\ P_{U} P_{W} & = P_{W} P_{U} = 0. \end{matrix}$ 主例矩阵为 $P_{U} = (\begin{matrix} 1 & - 1 / 2 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ 、 $P_{W} = (\begin{matrix} 0 & 1 / 2 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ 。它们不是对称矩阵，所以是斜投影，不是标准内积下的正交投影。

反过来，每个幂等算子 $P^{2} = P$ 都给直和 $V = im P \oplus \ker P$ 。对任意 $v$ ，有 $v = P v + (v - P v)$ ，后项被 $P$ 送到零；若 $x = P y$ 又被 $P$ 消掉，则 $x = P^{2} y = P x = 0$ ，证明交集只有零。

多个子空间的区别

对三个及以上子空间，仅有两两交集为零并不够。在 $ℝ^{2}$ 中，横轴、竖轴和对角线两两仅交于零，却有 $(1, 1) = (1, 0) + (0, 1) + 0 = 0 + 0 + (1, 1),$ 分解不唯一。正确条件是：若 $u_{1} + \dots + u_{m} = 0$ 且 $u_{j} \in U_{j}$ ，就必须每个 $u_{j} = 0$ ；再加上这些子空间张成 $V$ 。

变式将主例的斜方向改为 $W^{'} = span (2, 1)$ 。同一个向量 $(5, 4)$ 变成 $(- 3, 0) + (8, 4)$ ，依然唯一，但分量改变了。投影依赖所选补空间，不能只说“投影到横轴”而不说明沿哪个方向投影。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§1C（直和）、3E（空间的积）；本文例子与图解独立构造。