矩阵乘法

矩阵乘法把一个线性变换的输出交给下一个线性变换。若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵、$B$ 为 $n\times p$ 矩阵，乘积 $AB$ 为 $m\times p$ 矩阵，第 $(i,j)$ 项是 $\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$。

用列向量算一遍

取 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$、$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$。$B$ 的第一列是 $(2,3{)}^T$，$A$ 把它送到 $(8,3{)}^T$；第二列 $(0,1{)}^T$ 被送到 $(2,1{)}^T$。于是 $$AB=\left(\begin{array}{cc}8& 2\\ 3& 1\end{array}\right).$$ 等价地，左上角由第一行与第一列配对：$1\cdot 2+2\cdot 3=8$。按列看是在求每个基向量的去向，按行列配对看是在计算坐标；两种算法必须一致。

顺序对应先后操作

对列向量 $x$，$(AB)x=A(Bx)$：先做 $B$，再做 $A$。反过来 $BA=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 7\end{array}\right)$，与 $AB$ 不同。拿 $x=(1,0{)}^T$ 检查，先 $B$ 后 $A$ 得 $(8,3{)}^T$，先 $A$ 后 $B$ 得 $(2,3{)}^T$，所以矩阵乘法通常不交换。

维度也在表达“输出能否送进下一步”：$B$ 的行数必须等于 $A$ 的列数。上面约定 $B$ 为 $n\times p$，它把 $p$ 维输入变成 $n$ 维输出；$A$ 正好接受这 $n$ 个坐标，并给出 $m$ 维输出，所以乘积尺寸为 $m\times p$。这里 $p$ 始终表示 $B$ 的列数。乘法满足结合律 $A(BC)=(AB)C$；对每个向量，两边都是依次做 $C,B,A$，无需改变实际操作顺序。这让多个变换可先合并为一个矩阵。

参考资料

• Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第4版，§3C，第73—74页，3.41—3.43：矩阵相乘的尺寸与复合映射。
• MIT OpenCourseWare 18.06：Matrix Multiplication：矩阵乘法与变换。
• MIT OpenCourseWare 18.06SC：课程资源索引：矩阵运算与线性方程组。