矩阵对数

矩阵对数（matrix logarithm）是矩阵指数的逆问题：给定方阵 $A$，寻找满足 $e^X=A$ 的矩阵 $X$。它通常不唯一，而且“有复对数”“有实对数”“存在所选分支的主对数”是不同命题。逐元素取标量对数一般不解决这个问题。

例如 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=2I+N$，$N^2=0$。令 $$X=(\log 2)I+\frac{1}{2}N=\left(\begin{array}{cc}\log 2& 1/2\\ 0& \log 2\end{array}\right).$$ 由于 $I$ 与 $N$ 交换，且幂零级数截断，$e^X=2(I+N/2)=A$。右上角是二分之一，而不是对数一所得的零。

可逆性与分支

矩阵指数总可逆，因为 $e^X{e}^{-X}=I$。所以奇异矩阵不可能有对数。反过来，每个可逆复矩阵都有复对数：在其约旦分解中，写单块 $J=\lambda (I+M)$，其中 $\lambda \ne 0$，$M$ 幂零。选择一个标量值 $\ell$ 使 $e^{\ell }=\lambda$，并置 $$L=\ell I+\sum _{k=1}^{r-1}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}{M}^k.$$ 在商代数 $F[t]/(t^r)$ 中，标量形式幂级数的恒等式 $\exp (\log (1+t))=1+t$ 截断后依然成立，故 $e^L=J$。分别处理各块并相似变换回去，即构造出一个复对数。

如果 $X$ 是对数，则 $X+2k\pi iI$ 也是（整数 $k$），已经说明不唯一。重复特征值还可能允许更多不同结构的对数。

主对数与正定情形

若 $A$ 的谱不与非正实轴 $(-\mathrm{\infty },0]$ 相交，则存在唯一的对数，其特征值的虚部都严格位于 $(-\pi ,\pi )$，称为主对数。这里必须排除零特征值；主分支的条件比“矩阵可逆”更强。

对于 Hermitian 正定矩阵 $A=U\mathrm{diag}({\lambda }_j)U^{\ast }$，所有 ${\lambda }_j>0$，主对数为 $U\mathrm{diag}(\log {\lambda }_j)U^{\ast }$，仍 Hermitian。它是唯一的 Hermitian 对数：任何 Hermitian $X$ 可酉对角化，实指数在实轴上一一对应，故其谱与特征子空间上的作用都由 $A$ 确定。

实对数并非总存在

一阶实矩阵 $(-1)$ 没有实对数，因为实指数恒正。二阶的 $-I_2$ 却有：令 $K=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$，则 $e^{\pi K}=-I_2$。同一个负特征值在不同维数及块结构下可有不同结果，不能把标量结论原样推广。

对接近单位矩阵的情形，若某次乘性范数满足 $\Vert E\Vert <1$，主对数可按绝对收敛级数计算 $$\log (I+E)=E-E^2/2+E^3/3-\cdots .$$ 直接截断的误差可用尾项范数和控制；当矩阵不满足这一范围时，不能只因每个元素较小就宣称级数收敛。

变式取 $B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)=I+M$，虽然 $\Vert M{\Vert }_2=3$ 不满足上述充分条件，仍有 $M^2=0$，所以有限式 $\log B=M$ 完全正确。范数小于一是保证一般无限级数的方便条件，不是所有对数存在的必要条件。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§8C（约旦结构）；Higham矩阵对数作者说明；本文例子与图解独立构造。