矩阵对角化

矩阵对角化寻找一组由特征向量组成的基，使同一个线性变换在这组基下只需逐坐标伸缩。若可逆矩阵 $P$ 的列都是 $A$ 的特征向量，则 $AP=PD$，其中 $D$ 的对角线放相应特征值；等价地 $A=PD{P}^{-1}$。

先找两条不会转向的直线

取 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$。$v_1=(1,0{)}^T$ 满足 $A{v}_1=2v_1$；$v_2=(1,1{)}^T$ 满足 $A{v}_2=3v_2$。它们线性无关，所以可作新基。令 $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right).$$ 按列计算 $AP=(2v_1,3v_2)=PD$。在新坐标中，第一方向乘2，第二方向乘3，再由 $P$ 换回原坐标。

对角化使高次幂容易计算

由于相邻的 $P^{-1}P$ 抵消，$A^n=P{D}^n{P}^{-1}$，而 $D^n$ 只需把对角线元素分别乘方。上例得到 $$A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 3^n-2^n\\ 0& 3^n\end{array}\right)(n\ge 0).$$ 代 $n=1$ 回到原矩阵，代 $n=2$ 可与直接相乘核对。递推系统 $x_{n+1}=A{x}_n$ 因而可按特征方向分别分析增长。

不是每个方阵都可对角化。$J=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 只有一条独立的特征向量方向：$(J-I)v=0$ 要求第二坐标为零，无法组成二维基。判别关键不是“特征值能否写出来”，而是特征向量能否凑够一组基；实对称矩阵谱定理给出实对称矩阵必可正交对角化的特别保证。

参考资料

• MIT OpenCourseWare 18.06SC：Diagonalization and Powers of A：对角化与幂。
• MIT OpenCourseWare 18.06：Lecture 22：特征向量基。