等差数列的前n项和

等差数列的前 n 项和把前 $n$ 个按固定公差变化的数累加。若 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ ，记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ （ $n$ 为正整数），则 $S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d] .$ 这个公式不要求各项为正；公差为负或零时同样成立。

首尾配对

把同一个和正写、倒写： $\begin{matrix} S_{n} & = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}, \\ S_{n} & = a_{n} + a_{n - 1} + \dots + a_{2} + a_{1} . \end{matrix}$ 逐列相加，每列都是 $a_{1} + a_{n}$ ，共有 $n$ 列，因此 $2 S_{n} = n (a_{1} + a_{n})$ 。图中上排从首项向末项增加，下排反向排列；每个竖列等高，恰好体现“两份和”。

两行方格，上排长度依次为三五七九，下排倒序为九七五三，四列的上下合计都为十二 — 用 3、5、7、9 演示：两行总和为四个 12，原来的一行之和为 24。

以首项 3、公差 2 的前四项为例， $S_{4} = 4 (3 + 9) / 2 = 24$ ，与直接计算 $3 + 5 + 7 + 9$ 一致。求前 20 项不必逐一相加： $a_{20} = 3 + 19 \cdot 2 = 41$ ，所以 $S_{20} = 20 (3 + 41) / 2 = 440$ 。

已知总量反求项数

假设座位排数从 1 开始，第 1 排有 12 个座位，以后每排比上一排多 2 个。设共有 $n$ 排，总座位数 $S_{n} = \frac{n}{2} [24 + 2 (n - 1)] = n (n + 11) .$ 若场地恰有 180 个座位，则解 $n (n + 11) = 180$ ，即 $(n - 9) (n + 20) = 0$ 。排数必须是正整数，所以 $n = 9$ 。代回得到 $9 \cdot 20 = 180$ ；舍去 −20 不只是代数操作，而是由“排数”这个对象的取值范围决定。

由 $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ 也可从累计量恢复每一项。若某题给出 $S_{n} = n^{2} + 2 n$ ，则 $a_{1} = S_{1} = 3$ ，而 $n \geq 2$ 时 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 2 n + 1$ ；同一个公式在 $n = 1$ 也给 3，故通项为 $2 n + 1$ 。计算差时先展开两个相邻下标，可以避免把 $S_{n}$ 误当成 $a_{n}$ 。

参考资料

OpenStax《Precalculus》§11.4：有限等差和及配对思路。
延伸：数列求和方法比较配对、相消与错位相减。