线性映射

线性映射 $T:V\to W$ 同时保持向量加法和标量数乘： $$T(u+v)=T(u)+T(v),T(cu)=cT(u).$$ 两式合起来等价于 $T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)$。特别地，令 $c=0$ 可知 $T(0)=0$；若一个变换把零向量移到非零位置，它就不是线性的。

由基向量决定整个映射

在 ${ℝ}^2$ 上令 $T(x,y)=(x+y,2x)$。因为 $(x,y)=x{e}_1+y{e}_2$，而 $T(e_1)=(1,2)$、$T(e_2)=(1,0)$，线性性给出 $$T(x,y)=x(1,2)+y(1,0)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}).$$ 例如 $T(1,2)=(3,2)$。矩阵的两列分别是两条标准基向量的输出；这比把四个数字背成公式更能说明矩阵怎样代表映射。

定义域、陪域与非例

线性映射不一定可逆。例如 $S(x,y)=(x+y,0)$ 把整个平面压到一条直线，方向 $(1,-1)$ 被压成零；它的核与像正描述这两种现象。反之 $F(x,y)=(x+1,y)$ 虽把平面平移得很整齐，却有 $F(0,0)=(1,0)\ne 0$，因此不是线性映射，而是仿射映射。判断前还须说明输入、输出各属于哪个向量空间。

参考资料

• MIT 18.06 Linear Algebra，矩阵与线性变换讲义。
• MIT RES.18-011《Algebra I》：线性空间与谱定理。
• 继续阅读：矩阵、基与维数、核与像。