线性矩阵不等式

线性矩阵不等式（linear matrix inequality，LMI）是对一个随实变量仿射变化的对称矩阵提出正定或半正定要求。这里的不等号比较矩阵的二次型，而不是逐个比较矩阵元素。它把“对任意方向都成立”的条件浓缩成一个有限维矩阵约束，常用于凸优化和控制系统分析。

从一个二次式开始

实对称矩阵 $F$ 半正定，记作 $F⪰0$，意思是对所有实向量 $z$ 都有 $z^{𝖳}Fz\ge 0$；正定记作 $F\succ 0$，要求对每个非零 $z$ 严格大于零。

例如令 $$F(x,t)=\left(\begin{array}{cc}t& x\\ x& 1\end{array}\right).$$ 对向量 $(u,v{)}^{𝖳}$，完成平方得到 $$t{u}^2+2xuv+v^2=(v+xu{)}^2+(t-x^2)u^2.$$ 若 $t\ge x^2$，右边总非负；若 $t<x^2$，取 $u=1,v=-x$ 就得到负数。因此 $$F(x,t)⪰0⟺t\ge x^2.$$ 矩阵每个元素对 $(x,t)$ 都是仿射的，其可行域却可以具有弯曲边界。LMI中的“线性”说的是矩阵的参数化方式。

阴影表示半正定条件的可行区域。边界上二次型有零方向，因而只是半正定。

定义与凸性

给定实对称矩阵 $F_0,F_1,\dots ,F_m\in {ℝ}^{n\times n}$，变量为 $x\in {ℝ}^m$，标准形式为 $$F(x)=F_0+\sum _{i=1}^m{x}_i{F}_i⪰0.$$ 严格形式把 $⪰$ 改成 $\succ$。常数项使这里实际是仿射形式，名称仍沿用“线性矩阵不等式”。多个约束可将相应矩阵排在块对角线上，合成一个约束。

可行域是凸集。 设 $x,y$ 可行，$0\le \theta \le 1$。由仿射性， $$F(\theta x+(1-\theta )y)=\theta F(x)+(1-\theta )F(y).$$ 任取 $z$，其二次型为两项非负二次型的非负加权和，所以仍非负。这对所有 $z$ 成立，即证明凸性。线性目标加LMI约束可形成半定规划；若矩阵中出现两个未知量相乘，则不能直接沿用这个凸性结论。

二维圆盘与逐元素误读

再看 $$M(x,y)=\left(\begin{array}{cc}1+x& y\\ y& 1-x\end{array}\right).$$ 其特征方程为 $(1-\lambda {)}^2-x^2-y^2=0$，特征值为 $1\pm \sqrt{x^2+y^2}$。于是半正定条件精确对应圆盘 $x^2+y^2\le 1$，正定条件对应开圆盘。

圆周上的最小特征值为零。图中点对应的矩阵含负的非对角元素，仍然半正定。

在 $(x,y)=(3/5,-4/5)$ 处，矩阵为 $$\left(\begin{array}{cc}8/5& -4/5\\ -4/5& 2/5\end{array}\right),$$ 特征值为零与二；负的非对角元素并不妨碍半正定。反过来，矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ 的元素都正，但在向量 $(1,-1)$ 上的二次型为 $-2$，所以不半正定。

变式将 $y$ 固定为 $3/5$。由圆盘条件，$-4/5\le x\le 4/5$；端点可行但不严格正定。这个计算还提供了一个无需数值求解器的小型核验例。

稳定性证书中的LMI

对实常系数系统 $\dot{z}=Az$，候选二次函数为 $V(z)=z^{𝖳}Pz$，其中未知实对称矩阵 $P$ 正定。沿解求导有 $$\dot{V}=z^{𝖳}(A^{𝖳}P+PA)z.$$ 因此 $P\succ 0$、$A^{𝖳}P+PA\prec 0$ 给出严格递减的二次证书。固定 $A$ 时，这两个条件对 $P$ 的独立元素都是LMI。

例如 $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -2\end{array}\right)$，直接选 $P=I$，有 $$A^{𝖳}+A=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -4\end{array}\right),-z^{𝖳}(A^{𝖳}+A)z=2(z_1-z_2/2{)}^2+\frac{7}{2}{z}_2^2.$$ 右式对非零状态严格正，因而证书成立。若同时把状态反馈增益 $K$ 与 $P$ 都当未知量，$(A+BK{)}^{𝖳}P+P(A+BK)$ 含两组未知量的乘积，不能仅看矩阵外形就称它为LMI；需要适当变量变换或其他处理。

数值实现常用 $F(x)⪰\epsilon I$ 表达一个指定正裕度。它是额外的约束，不能对任意非齐次模型随意把 $\epsilon$ 固定成一而称与严格可行性等价。还应核验矩阵对称性、最小特征值和求解容差，区分接近零的数值残差与数学上的严格不等式。