舒尔分解

舒尔分解（Schur decomposition）把任意复方阵写成 $A=QT{Q}^{\ast }$，其中 $Q$ 为酉矩阵，$T$ 为上三角矩阵。它不要求矩阵可对角化；$T$ 的对角元是特征值，非对角项保留特征方向之间未能消去的耦合。

对于数值计算，酉矩阵换基保持欧氏长度，因而不会仅因坐标变换本身放大误差。这是舒尔分解相对于可能高度病态的特征向量基的一项优势，但不保证原矩阵的所有特征值问题都条件良好。

复数域上的存在性证明

对阶数归纳。一阶矩阵已上三角。设 $A\in {ℂ}^{n\times n}$，由代数基本定理选特征值 $\lambda$ 及单位特征向量 $q_1$，将其扩充成标准正交基，组成 $Q_1$。首列 $A{q}_1=\lambda q_1$ 使 $$Q_1^{\ast }A{Q}_1=\left(\begin{array}{cc}\lambda & b^{\ast }\\ 0& B\end{array}\right).$$ 对 $(n-1)$ 阶矩阵 $B$ 使用归纳假设，写 $B=Q_2{T}_2{Q}_2^{\ast }$。再令 $Q=Q_1\mathrm{diag}(1,Q_2)$，得到所需上三角分解。每一步都选正交补足，不要求先找到 $n$ 个特征向量。

由于相似变换保留特征多项式，且上三角行列式是对角元之积，$p_A(t)=\prod _j(t-t_{jj})$。这证明对角元按代数重数给出全部特征值。

一个不可对角化的算例

取 $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$。其特征多项式为 $(t-2{)}^2$，单位特征向量可取 $q_1=(1,-1{)}^{𝖳}/\sqrt{2}$，再取正交的 $q_2=(1,1{)}^{𝖳}/\sqrt{2}$。 $$\begin{array}{cc}Q& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right),\\ Q^{𝖳}AQ& =\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 2\end{array}\right)=T.\end{array}$$ 可以逐列核对：$A{q}_1=2q_1$，而 $A{q}_2=2q_1+2q_2$。后式解释了右上角的二；$q_2$ 并非另一个特征向量。$A-2I$ 的核只有一维，所以不存在对角化，却完全不影响这个舒尔分解。

正规矩阵时进一步变为对角

若 $A$ 正规，酉相似后 $T$ 仍正规。比较 $T^{\ast }T$ 与 $T{T}^{\ast }$ 左上角，得 $\sum _{j>1}|t_{1j}{|}^2=0$，迫使第一行非对角元全零；在余下块中重复，$T$ 即为对角矩阵。反过来，酉相似于对角矩阵必正规。所以舒尔分解说明了复谱定理的边界：一般矩阵只能保证上三角，正规性才保证进一步消去全部耦合。

实方阵不一定存在实上三角的正交舒尔分解，因为实数域可能没有特征值。实舒尔形式改用一阶与二阶实对角块的准上三角矩阵；例如旋转九十度矩阵的非实共轭特征值保留在一个二阶块中。本文的存在性证明针对复数域，不把它当成实上三角化的证明。

结果的解释与变式

主例 $T$ 的对角元都为二，但 $T^k=2^{k}I+k{2}^{k-1}\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$。只保留对角元会遗漏第二项，也就遗漏瞬时耦合对幂和指数的影响。

变式把 $A$ 改成 $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$，用同样两列组成的 $Q$，得到 $Q^{𝖳}AQ=\mathrm{diag}(2,4)$。这次矩阵实对称，三角形中的非对角项确实可以全零。两例的区别由结构定理解释，而非某次计算偶然找到更漂亮的坐标。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§6B（Schur定理）、7B（谱定理）；本文例子与图解独立构造。