舒尔补

舒尔补（Schur complement）是分块线性方程消去一组未知量后留下的有效系数矩阵。设 $$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right),$$ 其中 $A\in {ℝ}^{p\times p}$ 可逆、$D\in {ℝ}^{q\times q}$，其余块尺寸相容。$A$ 在 $M$ 中的舒尔补定义为 $$S=D-C{A}^{-1}B.$$ 它既保留右下块 $D$ 的直接作用，也扣除了经左上块变量传递的耦合效应。

以 $M=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 5\end{array}\right)$ 为例，消去第一未知量后，剩余系数为 $5-1\cdot (1/2)\cdot 1=9/2$。这个 $9/2$ 是消元产生的数，不是原矩阵右下角的五。

消元从哪里产生减项

将方程 $M(x,y{)}^{𝖳}=(f,g{)}^{𝖳}$ 写成 $$Ax+By=f,Cx+Dy=g.$$ 第一式因 $A$ 可逆而给出 $x=A^{-1}(f-By)$。代入第二式，逐项展开为 $$C{A}^{-1}f-C{A}^{-1}By+Dy=g,$$ 所以 $Sy=g-C{A}^{-1}f$。先解这个较小的系统，再回代求 $x$，就是分块消元。

主例取 $(f,g)=(4,11)$。舒尔补方程为 $(9/2)y=11-(1/2)\cdot 4=9$，故 $y=2$，再由 $x=(4-2)/2=1$。回代得到 $2\cdot 1+2=4$ 与 $1+5\cdot 2=11$。

第二行减去第一行的一半，保留的系数为九除以二。

分块因式分解与可逆性

消元可写成一个完整因式分解： $$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ C{A}^{-1}& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& S\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& A^{-1}B\\ 0& I\end{array}\right).$$ 先乘中间与右边，得到 $\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0& S\end{array}\right)$；再乘左边，右下块成为 $C{A}^{-1}B+S=D$，其余块恢复为 $A,B,C$，所以等式成立。

两侧的单位块三角矩阵总可逆，因此在 $A$ 可逆的前提下，$M$ 可逆当且仅当 $S$ 可逆。同时行列式的乘法性给出 $$detM=detAdetS.$$ 主例为 $detM=2\cdot (9/2)=9$，与直接计算 $10-1$ 一致。由消元回代还可得到逆的右下块为 $S^{-1}$，而不是通常的 $D^{-1}$。

对称矩阵的配方与正定性

若 $C=B^{𝖳}$ 且 $A$ 对称可逆，二次型可以配方为 $$\begin{array}{cc}{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{𝖳}M\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)& =(x+A^{-1}By{)}^{𝖳}A(x+A^{-1}By)+y^{𝖳}Sy.\end{array}$$ 展开第一项会产生 $x^{𝖳}Ax+2x^{𝖳}By+y^{𝖳}{B}^{𝖳}{A}^{-1}By$；最后一项恰被舒尔补中的减项抵消。这说明当 $A\succ 0$ 时， $$M⪰0⟺S⪰0,M\succ 0⟺S\succ 0.$$ 充分性由两个非负平方型相加得到。必要性令 $x=-A^{-1}By$，第一项变为零，只剩 $y^{𝖳}Sy$；严格正定情形再区分 $y\ne 0$ 与 $y=0,x\ne 0$，即可覆盖全部非零向量。这也是科列斯基分解逐块保持正定性的依据。

主例给出 $2(x+y/2{)}^2+(9/2)y^2$，两个系数均正，所以矩阵正定。变式把右下角五改为 $1/2$，舒尔补成为零，二次型变成 $2(x+y/2{)}^2$，在 $(x,y)=(-1,2)$ 处为零，只剩半正定；再把右下角改为零，舒尔补为负 $-1/2$，同一向量处二次型为负二。

枢轴块与奇异边界

舒尔补依赖选定的可逆块；若 $D$ 可逆，也可消去 $y$，得到另一舒尔补 $A-B{D}^{-1}C$。两者尺寸和数值通常不同。实现中求 $A^{-1}B$ 一般通过解线性方程获得，不必显式形成逆矩阵。

若所选 $A$ 奇异，本定义就无从使用，但完整矩阵仍可能可逆。例如 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 的行列式为负一，左上块零却不可逆。因而“无法对这个块作舒尔补”不等于“整个矩阵奇异”。用伪逆代替普通逆的推广需要额外的值域条件；若不检查这些条件，前面的正定等价关系可能被错误应用。