西尔维斯特惯性定律

西尔维斯特惯性定律（Sylvester's law of inertia）断言：实对称矩阵在实可逆合同变换下，正、负、零特征值的个数分别保持不变。等价地，一个实二次型无论怎样通过可逆线性换坐标写成平方和，正平方项、负平方项和缺失方向的数量都相同。

记这三个数量为惯性三元组 $(p,q,z)$，且 $p+q+z=n$。不同文献也可能用“惯性指数”只指正、负的两个数，或把“符号差”定义为 $p-q$；比较时需看清具体约定。

从配方得到一个算例

对 $f(x,y)=x^2+4xy+y^2$，配方为 $$f(x,y)=(x+2y{)}^2-3y^2.$$ 令 $u=x+2y,v=\sqrt{3}y$，变换可逆，所以 $f=u^2-v^2$，惯性为 $(1,1,0)$。原矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ 的特征值三和负一，也给出同样结果，但数值三和负一不要求在配方法得到的对角线上原样保留。

平方和形式的存在

由实对称谱定理，可选正交矩阵使 $A=Q\mathrm{diag}({\lambda }_j)Q^{𝖳}$。先置 $x=Qy$，二次型变成 $\sum {\lambda }_j{y}_j^2$。对每个非零特征值，再用 $w_j=\sqrt{|{\lambda }_j|}{y}_j$ 缩放，就得到正项系数一、负项系数负一、零项系数零的标准形式。

全部变换可逆，因而任何实对称型都可以化到 $\mathrm{diag}(I_p,-I_q,0_z)$。真正需要证明的是：不能通过另一套可逆坐标，把一个负平方变成更多正平方。

用正子空间证明唯一性

称子空间 $W$ 为严格正子空间，是指每个非零 $w\in W$ 都满足 $w^{𝖳}Aw>0$。在标准形式中，前 $p$ 个正坐标张成一个 $p$ 维正子空间。

不存在维数更大的正子空间。若 $\dim W>p$，记由负、零坐标张成的子空间为 $N$，其维数为 $n-p$。维数公式给出 $$\dim (W\cap N)\ge \dim W+\dim N-n>0.$$ 因此交集中有非零向量，但它在 $N$ 上的二次型值至多为零，与严格正矛盾。所以 $p$ 正是严格正子空间可能达到的最大维数，是与坐标无关的性质。对 $-A$ 重复论证，$q$ 也唯一；剩下 $z=n-p-q$ 唯一。

若 $B=P^{𝖳}AP$，可逆映射 $w\mapsto Pw$ 把 $B$ 的正子空间一一对应到 $A$ 的正子空间，且保持维数。因此这些最大维数不变，惯性定律得证。

能判定的事项

惯性为 $(n,0,0)$ 当且仅当正定；$(p,0,z)$ 表示半正定；正、负方向都存在则是不定型。惯性还给出秩 $p+q$，但它不决定每个特征值的具体大小。

例如 $\mathrm{diag}(2,3)$ 与 $I_2$ 合同且惯性相同，但并不相似，特征值不同。反过来，$\mathrm{diag}(1,-1)$ 不可能与 $I_2$ 合同，因为严格正子空间的最大维数分别是一和二。

变式取 $$\begin{array}{cc}g(x,y,z)& =x^2+4xy+4y^2-2z^2\\ & =(x+2y{)}^2-2z^2.\end{array}$$ 取 $u=x+2y,v=y,w=\sqrt{2}z$，得 $g=u^2-w^2$，惯性为 $(1,1,1)$。自由变化 $v$ 不改变型值，说明零方向不能靠可逆换坐标变成正方向。本定律与同名的正定性顺序主子式判别有关联，但不是同一条陈述。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§9A（实对称双线性型、二次型）；7B（实谱定理）；本文例子与图解独立构造。