计划评审技术

计划评审技术（program evaluation and review technique，PERT）用活动依赖网络分析工期不确定的项目。经典做法为每项活动提供乐观、最可能、悲观三个时间估计，再估计路径工期的均值与方差。它可以整理风险信息，但几个主观数值并不足以自动确定真实工期分布；项目完成概率也不能只凭一条平均最长路径就精确计算。

设三项活动A、B、C必须依次完成，单位为天。三点估计分别为A $(1,2,3)$、B $(2,3,8)$、C $(1,1,1)$，其中第二个数是最可能值，不是已经测得的均值。C视为固定一天，B则有明显较长的悲观尾部。

经典三点估计的含义

对 $0\le a\le m\le b$，传统PERT常使用 $$\hat{\mu }=\frac{a+4m+b}{6},{\hat{\sigma }}^2={\left(\frac{b-a}{6}\right)}^2.$$ 均值在此被最可能值加权拉近，标准差则取极差的六分之一。这是具体的估计约定，不是概率论对任意三点信息必然推出的恒等式。三点也没有一般地唯一确定Beta分布的全部形状参数；若用某种“Beta-PERT”参数化进行模拟，应明确具体参数和由该分布实际算出的方差，不能把不同约定混用。

当 $a=m=b$，可直接用该确定值、方差零；当乐观或悲观值实际只是分位数而非分布边界，也应说明含义。输入数字的精确小数位不代表估计本身准确。

一条顺序链的完整计算

按经典公式，A均值二、方差 $1/9$；B均值 $11/3$、方差一；C均值一、方差零。总工期 $T=X_A+X_B+X_C$ 满足期望可加： $$\widehat{𝔼T}=2+11/3+1=20/3.$$ 若进一步假定活动工时相互独立，路径方差估计为 $1/9+1=10/9$。若不独立，则实际方差还含两两协方差项： $$\mathrm{Var}T=\sum _i\mathrm{Var}{X}_i+2\sum _{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j).$$ 共同的天气或供应短缺可能让这些协方差为正，忽略它们会低估风险；均值相加本身则不要求独立。

再作正态近似，八天内完成的估计概率是 $$\begin{array}{cc}z& =\frac{8-20/3}{\sqrt{10/9}}=\frac{4}{\sqrt{10}},\\ Pr(T\le 8)& \approx \Phi (z)\approx \mathrm{0.8970.}\end{array}$$ 这里仅有两项随机工期，不足以仅凭“相加”就保证中心极限定理的近似精度。这个数字是明确假设下的粗估，不是八十九点七个百分点的验收承诺。实际上本例工期总范围为四至十二天，而正态分布还会给范围外分配非零概率。

这是经典矩估计后的正态示意，不是由三点信息确定的真实密度；虚线八天是所问截止时间。

路径切换带来的偏差

有并行分支时，项目完成时间是各路径随机总长的最大值。对每次实现都有 $\underset{k}{max}{T}_k\ge T_j$，所以取期望得到 $$𝔼\underset{k}{max}{T}_k\ge \underset{k}{max}𝔼T_k.$$ 通常为严格不等号。取两条并行活动：一条恒为两天，另一条各以二分之一概率为零或四天。两条的平均都为二，但项目总工期为二或四，平均三。先求每条均值再取最大，只得二，已经漏掉一天。

这个反例只使用两个离散结果，偏差可精确手算，无须以模拟代替证明。

有多条近关键路径、共享活动或相关工时时，应为整个网络逐次生成工时，再按关键路径法的最大前驱递推计算该次完工时间；充分的观测或模型验证仍不可省略。不能分别模拟每条路径而把共同活动当成相互独立的不同活动。

复算三点估计

下例只计算一条独立顺序链的传统矩估计及正态近似，不模拟真实分布，也不求一般网络的完成概率。

Python 3

import math

def pert_chain(three_point, deadline):
    if not math.isfinite(deadline):
        raise ValueError("finite deadline required")
    mean = variance = 0.0
    for row in three_point:
        if len(row) != 3 or any(not math.isfinite(x) for x in row):
            raise ValueError("three finite estimates required")
        a,m,b = row
        if not 0 <= a <= m <= b:
            raise ValueError("require 0 <= a <= mode <= b")
        mean += (a+4*m+b)/6
        variance += ((b-a)/6)**2
    if variance == 0:
        probability = float(deadline >= mean)
    else:
        z = (deadline-mean)/math.sqrt(variance)
        probability = 0.5*math.erfc(-z/math.sqrt(2))
    return mean,variance,probability

mean,var,probability = pert_chain([(1,2,3),(2,3,8),(1,1,1)],8)
print(round(mean,6),round(var,6),round(probability,6))
# 6.666667 1.111111 0.897048

对 $n$ 项活动一次扫描，时间 $O(n)$、工作空间 $O(1)$；其计算正确性只针对所写估计规则。变式。 若三项都固定为二、三、一，则总工期确定为六，六天内完成概率为一、五天内为零，应使用确定性判断，不把零方差代入标准化分母。

参考文献

• D. G. Malcolm、J. H. Roseboom、C. E. Clark、W. Fazar，Application of a Technique for Research and Development Program Evaluation，Operations Research 7(5)，1959，646—669，DOI：10.1287/opre.7.5.646。历史原始文献；上文近似条件参照Williams的公开全文审查。