量纲分析

量纲分析（dimensional analysis）通过长度、时间、质量等基本量的幂次关系，检查物理公式，找出不受单位选择影响的组合，并比较不同尺度的系统。它常能在完整求解之前确定某种比例关系。

摆长增加四倍，周期怎样变化

一个理想单摆的摆长为 $\ell$，重力加速度为 $g$，摆球质量为 $m$。在相同振幅角下，把摆长从一米改成四米，周期是否也变为四倍？

先不求摆的运动方程，而是寻找能组成时间的量。长度的量纲记为 $L$，时间记为 $T$，质量记为 $M$。摆长的量纲是 $L$，重力加速度是 $L{T}^{-2}$，质量是 $M$。假设周期 $P$ 可按这些量写成幂乘积 $$P=C{\ell }^a{g}^b{m}^c.$$ $C$ 是无量纲系数，$a,b,c$ 是待求指数。左右量纲应相同，所以 $$T=L^{a+b}{T}^{-2b}{M}^c.$$ 逐项比较指数：左边没有质量因子，故 $c=0$；时间指数给出 $-2b=1$，故 $b=-1/2$；长度指数为零，故 $a+b=0$，得到 $a=1/2$。于是 $$P=C\sqrt{\frac{\ell }{g}}.$$ 在同一重力、相同振幅及这些模型假设下，摆长增加四倍，周期便增加 $\sqrt{4}=2$ 倍。质量没有形成独立的时间尺度。

系数 $C$ 仍未确定。振幅角 ${\theta }_0$ 没有量纲，但它可以变化，所以更一般的关系是 $P=\sqrt{\ell /g}F({\theta }_0)$。理想小振幅近似进一步给出方程 ${\theta }^{″}+(g/\ell )\theta =0$，其角频率为 $\sqrt{g/\ell }$，这才得到 $P\approx 2\pi \sqrt{\ell /g}$。平方根尺度来自量纲，$2\pi$ 和小振幅适用范围来自运动方程。

一米与一百厘米，哪些东西变了

摆长是一项物理量；长度 $L$ 是它的量纲；米和厘米是可选择的单位。换成厘米时，一米记为一百厘米，$g$ 的数值也由约 $9.8$ 米每二次方秒变为约 $980$ 厘米每二次方秒。比值 $\ell /g$ 没变，所以算出的周期仍相同。

速度的量纲为 $L{T}^{-1}$，加速度为 $L{T}^{-2}$，力为 $ML{T}^{-2}$。相乘时量纲指数相加，相除时相减；可以相加的物理项则必须量纲相同。例如位移公式 $$s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$ 右边两项都是长度。如果漏写一个 $t$，成为 $at/2$，这一项是速度，便不能与位移相加。

但把正确公式中的系数改成十七和九，量纲仍然一致。量纲检查可排除不一致式子，不能单独确定数值系数。类似地，功和力矩虽然量纲相同，物理含义仍不同。

指数、对数与三角函数的输入也应采用无量纲组合。例如 $e^{-t/\tau }$ 中 $\tau$ 是时间尺度，比值与秒或分钟的选择无关；直接写“负三秒”的指数就缺少这种单位不变性。摄氏温度与开尔文读数还涉及零点平移，热力学公式应使用其要求的绝对温度，不能只改单位名称。

无量纲组合怎样由矩阵找到

将单摆变量 $P,\ell ,g,m$ 的量纲指数按列排好，按质量、长度、时间排列行，得到 $$D=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 1& 0& -2& 0\end{array}\right).$$ 例如第三列 $(0,1,-2{)}^{𝖳}$ 就表示 $g$ 的量纲。若希望乘积 $\Pi =P^{z_1}{\ell }^{z_2}{g}^{z_3}{m}^{z_4}$ 无量纲，三种总指数都应为零，即 $$Dz=0.$$ 逐行求解：$z_4=0$，$z_2+z_3=0$，$z_1-2z_3=0$。令 $z_1=1$，得到 $z=(1,-1/2,1/2,0)$，于是 $$\Pi =P\sqrt{g/\ell }.$$ 它没有单位，且无论用米还是厘米算，数值相同。

矩阵有四列、秩为三，零空间是一维。加上无量纲振幅 ${\theta }_0$ 后，多了一列全零，便有两组独立无量纲量：$P\sqrt{g/\ell }$ 与 ${\theta }_0$。前一节的未知函数 $F$ 正是这两个量之间的关系。

Buckingham Π 定理把这一过程推广到 $n$ 个变量：在量纲齐次、单位缩放适用及相应变量范围条件下，量纲矩阵秩为 $r$，就有 $n-r$ 组独立的无量纲幂乘积，可用来表达关系。对正变量取对数后，单位变化成为线性平移；零空间中的向量与这些单位变化方向正交，给出保持不变的组合。这是“变量数减秩”的线性代数来源。

组合不唯一，例如对正值的 $\Pi$ 使用 ${\Pi }^2$ 也可表达同一尺度信息。若能把输出单值地解出，才进一步写成一个无量纲量等于其他无量纲量的函数；定理本身并不决定这个函数。

从流动变量中找出雷诺数

考虑流体密度 $\rho$、速度尺度 $U$、长度尺度 $L_0$、动力黏度 $\mu$。量纲分别是 $M{L}^{-3}$、$L{T}^{-1}$、$L$、$M{L}^{-1}{T}^{-1}$。寻找无量纲乘积 ${\rho }^a{U}^b{L}_0^c{\mu }^d$，逐项列出指数条件： $$a+d=0,-3a+b+c-d=0,-b-d=0.$$ 先选 $a=1$，第一式给出 $d=-1$，第三式给出 $b=1$，第二式再给出 $c=1$，得到雷诺数 $$\mathrm{Re}=\frac{\rho U{L}_0}{\mu }=\frac{U{L}_0}{\nu },\nu =\frac{\mu }{\rho }.$$ $\nu$ 称为运动黏度，量纲为 $L^2{T}^{-1}$，与动力黏度不同。

取教学数值 $\rho =1000\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$、$U=0.2\mathrm{m}/\mathrm{s}$、$L_0=0.01\mathrm{m}$、$\mu =0.001\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{s}$，代入得 $\mathrm{Re}=2000$。在流动方程中，惯性项的尺度为 $\rho U^2/L_0$，黏性项的尺度为 $\mu U/L_0^2$；两者相除正是雷诺数。因此它比较的是惯性与黏性效应的相对大小。

具体流态还与几何和边界条件有关，不能只由二千这个数判断任意流动是否转捩。雷诺数的物理用途来自它在方程中的位置。

预测阻力时，输出也要列入变量

若目标是固定形状物体的阻力 $F_D$，还要把输出力列入清单，成为 $F_D,\rho ,U,L_0,\mu$ 五个量。对不可压缩、无相关自由表面作用的模型，量纲秩为三，可取两组独立组合： $${\Pi }_1=\frac{F_D}{\rho U^2{L}_0^2},{\Pi }_2=\mathrm{Re}.$$ 分母 $\rho U^2{L}_0^2$ 的量纲为 $ML{T}^{-2}$，恰好是力。于是可在单值范围写成 $F_D/(\rho U^2{L}_0^2)=\Phi (\mathrm{Re})$，通过实验或流动计算确定 $\Phi$。MIT：量纲分析与模型相似

重复变量法可以选 $\rho ,U,L_0$，因为它们的三列量纲独立；分别与阻力、黏度组合即可消去量纲。若选择量纲相关的变量，便缺少消去某个基本量纲的自由度。

这里默认尺度 $\rho ,U,L_0$ 为正，速度为零时应另外处理。若表面粗糙度 $k$ 也影响阻力，就需加入 $k/L_0$；改变物体形状时，还要保留长宽比等几何量。遗漏一个重要变量不会被矩阵运算自动发现，变量清单首先来自物理问题。

为什么缩小的模型未必能同时保持所有相似条件

设模型的长度为原型的 $\lambda$ 倍，速度比记为 $q=U_{\mathrm{m}}/U_{\mathrm{p}}$。同一种流体意味着运动黏度相同，于是 $$\frac{{\mathrm{Re}}_{\mathrm{m}}}{{\mathrm{Re}}_{\mathrm{p}}}=q\lambda .$$ 保持雷诺数，必须取 $q=1/\lambda$。长度缩为十分之一，就需把速度增为十倍。

若流动还有重力自由表面效应，需要比较弗劳德数 $\mathrm{Fr}=U/\sqrt{g{L}_0}$。在同一重力下，它的比值为 $q/\sqrt{\lambda }$；保持它不变则要求 $q=\sqrt{\lambda }$。长度缩为十分之一时，速度反而应降到约 $0.316$ 倍。

同一个长度缩尺，对两种无量纲数提出不同的速度要求。

图中两条箭头从同一缩尺条件出发。上方保持惯性与黏性比，下方保持速度与重力波动尺度的比，它们不能由同一速度同时实现。若优先匹配弗劳德数，雷诺数比就成为 ${\lambda }^{3/2}\approx 0.0316$；若还要匹配雷诺数，运动黏度也必须降到原型的约 $0.0316$ 倍。MIT：Marine Hydrodynamics，Lecture 19

量纲分析把这种冲突明确列了出来。实验中需根据主要机制决定匹配哪些量，并分析未匹配量的影响；只有当几何、边界条件和相关无量纲参数相应一致时，才可把模型结果换算到原型。

历史

Buckingham 于 1914 年发表关于物理相似系统的工作，系统表达了后来称为 Π 定理的无量纲化方法。NIST：The Life of (Buckingham) Pi 这一框架把已有的尺度与相似思想联系到单位变换，使多变量实验问题能够改写为更少的无量纲关系。

参考来源与延伸阅读

• NIST：The Life of (Buckingham) Pi，历史与单位缩放说明。
• MIT：Dimensional Analysis of Models and Data Sets，模型相似与尺度分析。
• MIT：Marine Hydrodynamics，Lecture 19：雷诺数与弗劳德数同时匹配的限制。
• 先修：矩阵、向量空间；相关：数学建模、微分方程、一阶线性微分方程。