零化子

零化子（annihilator）在有限维线性代数中，指所有在某个子空间上恒为零的线性泛函组成的集合。它把“某些向量被允许出现”转写成“哪些线性测量完全看不见这些向量”。本文使用 $U^{\circ }$ 表示子空间 $U$ 的零化子，以免与内积中的正交补混淆。

例如 $U=\mathrm{span}\{(1,2,0),(0,1,1)\}\subset {ℝ}^3$。一个泛函写成 $\phi (x,y,z)=ax+by+cz$，在 $U$ 上消零等价于它在两个基向量上为零，即 $$a+2b=0,b+c=0.$$ 令 $b=t$，得 $(a,b,c)=t(-2,1,-1)$。因此所有消零测量都是 $t(-2x+y-z)$，零化子是一维的。

定义与维数公式

设 $U\le V$，定义 $$U^{\circ }=\{\phi \in V^{\ast }:\phi (u)=0\text{ 对所有 }u\in U\}.$$ 它是 $V^{\ast }$ 的子空间，因为两个消零测量的线性组合仍消零。若 $\dim V=n,\dim U=k$，则 $$\dim U^{\circ }=n-k.$$ 证明时把 $U$ 的基 $u_1,\dots ,u_k$ 扩充为 $V$ 的基。泛函属于零化子，恰好意味着其前 $k$ 个对偶坐标为零；后 $n-k$ 个坐标可以自由取值。因此这不是偶然的方程数统计，而是由对偶基给出的维数结论。

主例中两个向量线性无关，因为第三坐标先迫使第二个系数为零，再由第一坐标迫使第一个为零。因此 $k=2,n=3$，与算出的一个自由测量方向一致。

双重零化与包含关系反向

若 $U\subseteq W\subseteq V$，在更大的 $W$ 上消零更严格，故 $W^{\circ }\subseteq U^{\circ }$。包含方向反过来了。

有限维时，还能从全部消零测量恢复原子空间： $$U=\{v\in V:\phi (v)=0\text{ 对所有 }\phi \in U^{\circ }\}.$$ 包含 $U$ 的方向由定义成立。若 $v\notin U$，将 $U$ 的基加上 $v$ 后仍线性无关，再扩成 $V$ 的基；定义一个泛函在 $U$ 的基上取零、在 $v$ 上取一，即得到属于 $U^{\circ }$ 却不消掉 $v$ 的测量，证明反向包含。通过自然评价映射识别双对偶时，这也写作 $U^{\circ \circ }=U$。

在主例中，恢复的方程就是 $-2x+y-z=0$。对任何满足方程的向量，有 $y=2x+z$，所以 $$(x,y,z)=x(1,2,0)+z(0,1,1),$$ 确实回到原来的 $U$。

矩阵求解与正交补

把子空间基排成列矩阵 $B$，泛函系数列为 $a$，则消零条件是 $B^{𝖳}a=0$。这是计算零化子的线性方程组。实标准内积把 $a$ 识别为向量后，它与 $U^{\perp }$ 对应；但零化子本身位于对偶空间，不要求预先选内积。

变式取平面内直线 $L=\mathrm{span}(1,3)$。零化子由 $a+3b=0$ 给出，即 $\phi =t(-3x+y)$。点 $(2,6)$ 被每个测量消掉，点 $(2,7)$ 则被 $-3x+y$ 测出一，恰好检验它不在原直线上。另须区分环论中“元素的零化理想”，那是不同对象。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§3F（零化子、对偶映射的核与像）；本文例子与图解独立构造。