零点的重数

多项式在某个数 $a$ 为零时，因子 $x-a$ 可能出现不止一次。若 $P(x)=(x-a{)}^{m}Q(x)$ 且 $Q(a)\ne 0$，则称 $a$ 是重数为 $m$ 的零点。条件 $Q(a)\ne 0$ 保证已经把这一因子提尽。

从因式读出曲线的局部形状

看 $P(x)=(x-1{)}^2(x+2{)}^3$。$x=1$ 是二重零点：在1附近，$(x-1{)}^2$ 总不小于零，而 $(x+2{)}^3$ 保持正号；曲线接触横轴后仍在同侧。$x=-2$ 是三重零点：$(x+2{)}^3$ 从负变正，另一因子在附近保持正号，所以曲线穿过横轴。

一般地，若 $Q(a)\ne 0$ 且 $Q$ 连续，便有一个足够小的邻域让 $Q(x)$ 不改变符号。于是奇数重零点两侧的 $(x-a{)}^m$ 异号，偶数重零点两侧同号。这一结论说的是附近的符号；离开邻域后还可能遇到别的零点，不能用它概括整张图。

重数与导数

对多项式逐次求导，可以不先完全分解就检查重数：若 $a$ 的重数为 $m$，则 $P(a)=P^{\prime }(a)=\cdots =P^{(m-1)}(a)=0$，而 $P^{(m)}(a)=m!Q(a)\ne 0$。理由是在 $(x-a{)}^{m}Q(x)$ 的前 $m-1$ 次求导中，每项仍至少有一个 $x-a$；第 $m$ 次求导后，唯一不带该因子的项在 $a$ 处为 $m!Q(a)$。

例如 $R(x)=(x-3{)}^2$ 满足 $R(3)=R^{\prime }(3)=0$、$R^{″}(3)=2$，故3是二重零点。只知道 $P^{\prime }(a)=0$ 却不能推出 $P(a)=0$：$x^2+1$ 在0处导数为零，函数值仍是1。

参考资料

• OpenStax《Precalculus 2e》§3.4：零点重数与图像穿越。
• 同书 §3.6：零点与因式分解。