2003年国赛D题：抢渡长江

2003年国赛D题：抢渡长江是2003年全国大学生数学建模竞赛的D题。

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两次渡江活动的题设资料

题目提供两次活动作比较：1934 年 9 月 9 日，从武昌汉阳门码头到汉口三北码头的横渡路线约 5000 米，44 人参加、40 人到达；2002 年 5 月 1 日，从武昌汉阳门到汉阳南岸咀的挑战赛有 186 人参赛，专业选手接近一半，34 人到达终点，第一名用时 14 分 8 秒。2002 年比赛当天平均水温为 16.8℃，江水平均流速为 1.89 米/秒。题设指出，不少选手被水流带到下游，未准确到达终点。

简化区域与方向

把两岸视为平行直线，两岸垂直距离为 1160 米。起点是武昌汉阳门，终点在对岸，并位于起点正对岸沿水流方向向下游 1000 米处。

以起点为基准，垂直岸边、朝对岸的方向为 $y$ 轴正向，故起点岸为 $y = 0$ 、对岸为 $y = 1160$ 。题目中的游泳速度与水流速度需分别辨认，下面各问给出不同流速条件。

原题简化渡江区域：两岸间距1100米，起终点沿岸错开1000米，箭头表示长江水流方向。来源：D2003.pdf第1页。

六项任务

一：恒定水流和恒定游泳速度

假定游泳者相对水的速度大小和方向全程不变，区域中各点流速均为 1.89 米/秒。说明 2002 年第一名沿怎样的路线前进，求她的游泳速度大小与方向；讨论如何根据选手自身速度选择方向，并为能保持 1.5 米/秒的选手选择方向、估计成绩。

二：始终垂直岸边游泳

保持第一问假设，判断始终朝垂直岸边方向游能否到达指定终点。用所建模型解释 1934 年和 2002 年到达率差异很大的原因，并给出能够到达终点的选手应满足的条件。

三：分段常数水流

水流速度大小随离岸距离变化，单位为米/秒， $y$ 的单位为米：

$v (y) = {\begin{matrix} 1.47, & 0 \leq y \leq 200, \\ 2.11, & 200 < y < 960, \\ 1.47, & 960 \leq y \leq 1160. \end{matrix}$

游泳者自身速度大小仍全程保持 1.5 米/秒。为其选择游泳方向与路线，并估计成绩。

四：连续水流分布

讨论流速按离岸距离连续变化的情形。题目给出的例子为

$v (y) = {\begin{matrix} \frac{2.28}{200} y, & 0 \leq y \leq 200, \\ 2.28, & 200 < y < 960, \\ \frac{2.28}{200} (1160 - y), & 960 \leq y \leq 1160. \end{matrix}$

也可以采用认为合适的其他连续分布，说明如何处理这一问题。

五、六：面向公众的说明与其他用途

为有意参加竞渡的游泳爱好者写一篇容易理解的竞渡策略短文；讨论所建模型还可能有哪些其他应用。上述内容是竞赛要求，本页不提供实际渡江行动建议。

附件与来源

D2003.DOC。原题文件：D2003.DOC，含两种流速分布。

来源：全国大学生数学建模竞赛官方发布页。核对日期：2026年9月22日。