2012年国赛D题：机器人避障问题

2012年国赛D题：机器人避障问题是2012年全国大学生数学建模竞赛的D题。

返回2012年国赛赛题。

场景及障碍物

机器人在 $800\times 800$ 的平面场景内活动，初始点为 $O(0,0)$，不能离开该范围。场景内有 12 个不可碰撞的障碍区域，尺寸和坐标使用同一长度单位。长方形、正方形的边平行于坐标轴，平行四边形的底边水平。

编号	形状	位置及尺寸
1	正方形	左下点(300,400)，边长200
2	圆形	圆心(550,450)，半径70
3	平行四边形	左下点(360,240)，底边长140，左上点(400,330)
4	三角形	三个顶点(280,100)、(345,210)、(410,100)
5	正方形	左下点(80,60)，边长150
6	三角形	三个顶点(60,300)、(150,435)、(235,300)
7	长方形	左下点(0,470)，横向220、纵向60
8	平行四边形	左下点(150,600)，底边长90，左上点(180,680)
9	长方形	左下点(370,680)，横向60、纵向120
10	正方形	左下点(540,600)，边长130
11	正方形	左下点(640,520)，边长80
12	长方形	左下点(500,140)，横向300、纵向60

原题场景图。编号与上表对应；图中没有给出任何待求路径。

行走路径与速度限制

目标点位于障碍物外，距障碍物超过 10 个单位。路径由直线段和圆弧组成，不能以有尖角的折线转弯；转弯可由与直线相切的一段圆弧连接，也可由两段或多段相切圆弧组成。每段圆弧半径至少 10 个单位。

题目另要求行走线路与障碍物保持 10 个单位的安全间距，原文表述为“最近距离为10个单位”；否则视为碰撞，不能完成行走。

直线行走的最大速度为 $v_0=5$ 个单位/秒。转弯半径为 $\rho$ 时，最大转弯速度为

$v(\rho )=\frac{v_0}{1+e^{10-0.1{\rho }^2}}.$

超过该速度视为侧翻，不能完成行走。公式指数中的 ${\rho }^2$ 是原题给定的半径平方。

路径任务与结果要求

建立机器人由区域内一点到另一点的避障最短路径模型、最短时间路径模型。指定四点为

$O=(0,0),A=(300,300),B=(100,700),C=(700,640).$

1. 分别计算 $O\to A$、$O\to B$、$O\to C$ 以及依次经过 $O\to A\to B\to C\to O$ 的最短路径。
2. 计算从 O 到 A 的最短时间路径。

提交结果须列出路径中每段直线、圆弧的起点和终点坐标，每段圆弧的圆心坐标，以及机器人行走的总距离和总时间。两问目标分别是距离和时间，不能仅给一张路线示意图代替这些数值要求。

原题、附件与来源

• 下载官方年度题目与附件包（RAR），查找D题及其附件目录。

来源：全国大学生数学建模竞赛2012年官方发布页。核对日期：2026年9月22日。