2021年国赛A题：“FAST”主动反射面的形状调节

2021年国赛A题：“FAST”主动反射面的形状调节研究射电望远镜的反射面调节。已知面板、索网与促动器的几何数据，需要在实际调节限制下，让球面的一部分接近适合观测方向的抛物面，并评价信号接收效果。

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反射面怎样改变形状

FAST 的主索网由三角网格组成，网格上安装反射面板，周边由支承结构固定。主索节点通过下拉索与地面的促动器相连。促动器伸缩时带动节点移动，从而改变反射面的整体形状。相邻面板留有缝隙，使调节过程中面板不因相互挤压或拉扯而变形。

题目区分两个状态：

• 基准态：反射面属于半径约 300 米的球面，整体口径 500 米。
• 工作态：其中口径 300 米的一部分被调节为近似旋转抛物面，用来把某一方向的平行电磁波汇聚到馈源舱。

设基准球面球心为 $C$、半径为 $R$。馈源舱接收平面的中心只能在另一个与基准球面同心的球面上移动，这个球面称为焦面。两球面的半径相差 $F=0.466R$；$F/R$ 是题面使用的焦径比。

观测天体 $S$ 时，馈源舱中心位于直线 $SC$ 与焦面的相应交点 $P$。理想工作抛物面以 $SC$ 为对称轴、以 $P$ 为焦点。馈源舱真正接收信号的有效区域，是以其中心为圆心、直径 1 米的圆盘。

天体方向用方位角 $\alpha$ 和仰角 $\beta$ 表示：前者描述方向在水平 $xy$ 平面上的投影与 $x$ 正向的夹角，后者描述天体方向与该水平投影的夹角。坐标原点设在球心 $C$。

方位角与仰角的定义。虚线把天体方向投影到水平面；图中只说明角度关系，不表示问题1或问题2的具体方向。

已知数据与调节限制

系统给定 2226 个主索节点、6525 根主索、4300 块反射面板；面板数不计与周边支承结构连接的部分面板。各附件分别给出节点、促动器和面板之间的对应关系：

• 附件 1：全部主索节点的编号和坐标。
• 附件 2：促动器下端地锚点、基准态上端点的坐标，以及对应的主索节点编号。
• 附件 3：4300 块反射面板各自对应的主索节点编号。
• 附件 4：计算结果的填写格式。

建立模型时须保留以下条件。

1. 基准态下，所有主索节点均在基准球面上；以节点坐标作为面板顶点坐标，每块面板本身是该球面的一部分。
2. 面板上的排水孔直径小于 5 毫米，也小于所观测电磁波的波长。本题可把面板视为无孔面板。
3. 入射及反射电磁波均按直线传播处理。
4. 相邻节点间距离可随调节略有变化，但变化幅度不得超过 0.07%。
5. 节点与促动器顶端之间的下拉索长度固定，不能把它当成可独立伸缩的部件。
6. 促动器沿基准球面径向运动，以朝向球心为正方向。基准态伸缩量记为 0，允许范围为 −0.6 至 +0.6 米。

问题1：观测正上方天体

当天体方向为 $\alpha =0^{\circ },\beta =90^{\circ }$ 时，结合面板调节条件，确定对应的理想抛物面。

问题2：倾斜观测方向的面板调节

当天体方向变为 $\alpha =36.795^{\circ },\beta =78.169^{\circ }$ 时，确定理想抛物面，并建立反射面板调节模型，给出有关促动器的伸缩量，使实际反射面尽量接近这一理想形状。

按附件 4 的格式，把以下结果保存到 result.xlsx：理想抛物面的顶点坐标，以及调节后 300 米口径范围内主索节点的编号、位置坐标和相应促动器的伸缩量。

问题3：比较信号接收效果

采用问题2得到的调节方案，计算馈源舱的接收比：分子为馈源舱有效区域接收到的反射信号，分母为 300 米口径范围内反射面的反射信号。将调节后的接收比与基准反射球面的接收比进行比较。

附件与来源

• 下载2021年国赛官方赛题包：A 题目录中包含原题 PDF、三份输入数据与结果格式附件。
• 全国大学生数学建模竞赛组委会：2021年赛题发布页。本题正文依据完整的 3 页官方题面整理。