2024年国赛D题：反潜航空深弹命中概率问题

2024年国赛D题：反潜航空深弹命中概率问题是2024年高教社杯全国大学生数学建模竞赛的D题。题目给定目标定位误差的概率分布、目标外形和引信条件，设置单枚与九枚深弹的三个概率问题。

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定位、坐标与随机误差

题目背景为侦察设备获得水下目标的大致位置后，研究定位误差对航空深弹命中的影响。采用以下目标坐标系：

• 原点O：潜艇中心的定位值在海平面上的投影。
• $X$轴正向：正东。
• $Y$轴正向：正南。
• $Z$轴正向：垂直海平面向下。

潜艇航向方位角记为$\beta$，从正北方向顺时针转到潜艇航向。题设允许在一定条件下获知该航向。

潜艇中心实际位置的三个坐标是相互独立的随机变量。水平坐标满足

$$X\sim N(0,{\sigma }^2),Y\sim N(0,{\sigma }^2).$$

深度坐标$Z$服从题目给定的单边截尾正态分布$N(h_0,{\sigma }_z^2,l)$，密度为

$$f_{h_0,{\sigma }_z,l}(v)=\frac{1}{{\sigma }_z}\frac{\varphi \left(\frac{v-h_0}{{\sigma }_z}\right)}{1-\Phi \left(\frac{l-h_0}{{\sigma }_z}\right)},l<v<+\mathrm{\infty }.$$

其中$h_0$是潜艇中心深度的定位值，$l$是实际中心深度的最小值，$\varphi$与$\Phi$分别为标准正态分布的密度函数和分布函数。

目标外形与题设命中条件

潜艇主体简化为长方体。深弹入水后垂直下降，使用触发引信与定深引信两种引爆方式；定深引信的引爆深度事先设定。题目将深弹在海水中的最大杀伤距离称为杀伤半径。

满足下列三种情形之一，即按题设视为命中：

1. 落点位于潜艇的平面尺度范围内，设定引爆深度在潜艇上表面下方，由触发引信引爆。
2. 落点位于潜艇的平面尺度范围内，设定引爆深度在潜艇上表面上方，且潜艇处于深弹杀伤范围内，由定深引信引爆。
3. 落点位于潜艇的平面尺度范围外，在设定深度由定深引信引爆，且此时潜艇在杀伤范围内。

问题1：深度定位没有误差

投射1枚深弹。潜艇中心深度定位无误差，两个水平坐标的定位误差仍按正态分布处理。

分析最大命中概率与投弹落点平面坐标、定深引信引爆深度的关系，给出使命中概率最大的投弹方案，以及相应最大命中概率的表达式。并在以下参数下给出最大命中概率。

参数	数值
潜艇长	100 m
潜艇宽	20 m
潜艇高	25 m
航向方位角	90°
深弹杀伤半径	20 m
水平定位标准差$\sigma$	120 m
中心深度定位值	150 m

问题2：三个方向的定位都有误差

仍投射1枚深弹，改为潜艇中心各方向的定位均存在误差。给出命中概率的表达式。

采用$h_0=150\mathrm{m}$、${\sigma }_z=40\mathrm{m}$、$l=120\mathrm{m}$，其他参数与问题1相同。要求设计定深引信的引爆深度，使命中概率最大。

问题3：九枚深弹的阵列

一架飞机携带9枚航空深弹，它们的定深引信引爆深度全部相同。题面给定的平面落点为三行三列的阵列：沿潜艇航向的相邻间距记为$a$，垂直于航向的相邻间距记为$b$。

在问题2的参数条件下，设计共同引爆深度和落点的平面间隔，使投弹命中概率最大。本问的“命中”指至少一枚深弹命中潜艇。

附件下载与来源

下载2024年国赛官方赛题包。本题题面为CUMCM2024Problems/D题/D题.pdf，给定的坐标、分布、参数和阵列条件均见题面。参赛论文须遵守包内的竞赛论文格式规范。

来源：全国大学生数学建模竞赛组委会《2024年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目：D题 反潜航空深弹命中概率问题》，PDF共2页；官方年度发布页。本页核对日期为2026年9月22日。