M/M/1队列

M/M/1排队模型用一个服务台描述随机到达与随机服务的队列。第一个M表示到达间隔为独立同分布指数变量，即泊松到达；第二个M表示独立指数服务时间；一表示只有一个服务台。经典无限等待区、先来先服务模型还假定到达与服务机制独立，无拒绝、无放弃，参数恒定。

若每分钟平均到达两人，服务台平均每分钟能服务三人，空闲概率不是零，每人平均停留时间也不只是服务时间三分之一分钟。客人会因前面的随机拥堵而等待，负载越接近一，等待增长越快。

人数状态与生灭过程

令 $N(t)$ 为系统总人数，包括正在服务的一人；到达率为 $\lambda >0$、服务率为 $\mu >0$，单位均为每分钟。若当前有 $n\ge 1$ 人，离开的总速率仍为 $\mu$，不是 $n\mu$，因为只有一个服务台。

状态零没有服务离开箭头。每个非空状态的总服务速率相同，和多服务台模型不同。

稳态概率 ${\pi }_n=Pr(N=n)$ 对边界零与相邻层流量满足 $${\pi }_n\lambda ={\pi }_{n+1}\mu .$$ 这一式也可从总体平衡归纳：零状态先给 ${\pi }_0\lambda ={\pi }_1\mu$，再代入第一个非空状态的平衡，逐层得到全部相邻等式。记负载 $\rho =\lambda /\mu$，则 ${\pi }_n={\pi }_0{\rho }^n$。只有 $\rho <1$ 才可归一化，得到 $${\pi }_n=(1-\rho ){\rho }^n,n=0,1,\dots .$$ 几何分布的相邻流量满足全部平衡、总和为一，给出稳态。负载达到一或更高时不存在可归一的这类稳态，不能把公式分母为零或负数的结果解释成平均等待。

系统、队列与时间的区别

由几何级数求导， $$\begin{array}{cc}L=𝔼N& =(1-\rho )\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{\rho }^n=\frac{\rho }{1-\rho },\\ L_q& =L-Pr(N\ge 1)=\frac{{\rho }^2}{1-\rho }.\end{array}$$ 服务台忙时只有一人在服务、空时没有，因此平均正在服务人数为忙碌概率 $\rho$，不是始终为一。对稳定、无损失系统使用Little定律 $L=\lambda W$，得到 $$\begin{array}{cc}W& =\frac{1}{\mu -\lambda },\\ W_q& =W-\frac{1}{\mu }=\frac{\lambda }{\mu (\mu -\lambda )}.\end{array}$$ $W$ 包含等待加服务，$W_q$ 只含排队，单位为分钟；人数公式则没有时间单位。

主例 $\lambda =2,\mu =3$，所以空闲概率 $1/3$、平均系统人数二、平均排队人数 $4/3$、平均停留一分钟、平均排队 $2/3$ 分钟。停留的一分钟减去实际服务的三分之一分钟，正好是四十秒等待。至少三人在系统中的稳态概率为 ${\rho }^3=8/27$，这是时间比例或稳态抽样概率，不等于所有客人都需要等三人。

虚线标出主例负载2/3、平均停留1分钟。平均到达率小于能力仍可能造成显著等待，接近满负载时更敏感。

变式。 到达率增到每分钟二点七人，其他条件不变。负载零点九，平均系统人数九，平均停留 $10/3$ 分钟、平均等待三分钟。到达率只增加百分之三十五，平均等待却从四十秒变三分钟；变化来自分母 $\mu -\lambda$ 变小，而非单次服务变慢。

数据与适用边界

指数服务时间的变异系数为一；若实际服务几乎固定、重尾或受批量影响，不能只匹配均值就认定M/M/1成立。有限等待区会拒绝到达，多服务台会改变离开率，预约或拥堵控制也可能让到达不再是外生泊松过程。应先检查机制，再选择排队公式。

若 $\lambda =0$，长期系统为空；不存在实际到达客人的样本平均，不能直接计算 $L/0$。可把 $W\to 1/\mu$、$W_q\to 0$ 看作极低到达率的极限或一个假想新客的服务需求，与除以零的操作区分。