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'''2014年国赛A题：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略'''是2014年全国大学生数学建模竞赛的A题。

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== 背景与着陆器条件 ==

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分发射，12月6日进入月球轨道。本题研究从着陆准备轨道出发，到预定月面区域软着陆的轨道与控制安排，要求满足关键高度处的状态条件，并尽量节省燃料。

着陆准备轨道上探测器的质量为2.4吨。正下方的主减速发动机推力可在1500—7500牛之间调节，比冲为2940米/秒；四个侧面共装有16台小型姿态调整发动机。主发动机方向确定后，可以通过姿态发动机的脉冲组合实现姿态控制。

比冲采用附件中的速度量纲定义。若<math>F</math>为推力（牛），<math>v_e</math>为比冲（米/秒），<math>\dot m</math>为单位时间消耗的推进剂质量（千克/秒），则

<math>F=v_e\dot m.</math>

预定着陆点为西经19.51°、北纬44.12°，正文给出的海拔为−2641米。背景附件解释月面海拔零点取月球平均半径，却把该点海拔写为−2640米；使用两份资料时需说明采用的数值。

== 轨道与阶段要求 ==

准备轨道为椭圆，近月点高度15千米、远月点高度100千米。近月点在月心坐标系中的位置与下降轨道形态共同决定最后的落点。着陆轨道从近月点延伸至月面。

下降流程及各关键状态如下：

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="软着陆的六段下降过程" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 阶段 !! 距月面高度范围 !! 要求
|-
| 主减速 || 15千米→3千米 || 把速度降至57米/秒，在目标上方附近进入下一段
|-
| 快速调整 || 3千米→2.4千米 || 调整姿态，使水平速度降为0，发动机朝下，进入粗避障
|-
| 粗避障 || 2.4千米→100米 || 避开大陨石坑，初选落点，并在其上方100米悬停
|-
| 精避障 || 100米→30米 || 悬停成像，避开较大陨石坑和月面障碍，确定最终落点；30米处水平速度为0
|-
| 缓速下降 || 30米→4米 || 到4米处相对月面静止
|-
| 自由下落 || 4米→月面 || 关闭发动机，依靠着陆缓冲机构完成落月
|}
</div>

附件的文字条目把“准备轨道”列为第（1）项，把关机后的自由下落接在第（6）项缓速下降之后；其流程图则把自由下落单列。本题的轨道设计应覆盖上述全部阶段。附件快速调整段用“推力竖直向下”描述发动机朝向；建模时应区分喷流朝向与作用在着陆器上的反作用力方向。

在2.4千米高处，拍摄正下方2300×2300米区域，探测器的月面垂直投影位于区域中心。附件3的数字高程图水平分辨率为1米/像素，像素值以1米为高度单位，例如左上角数值102表示高程102米。

在100米处悬停时，对落点附近100米范围进行成像，得到附件4的数据。该图的水平分辨率为0.1米/像素，高度数值的单位也是0.1米。两幅TIF文件保存了用于避障的高程数据，可用图像读取函数读取数值。

== 参考参数 ==

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="月球参考参数" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 量 !! 附件给定值
|-
| 月球平均半径 || 1737.013千米
|-
| 赤道平均半径 || 1737.646千米
|-
| 极区半径 || 1735.843千米
|-
| 形状扁率 || 1/963.7256
|-
| 月球质量 || <math>7.3477\times10^{22}</math>千克
|-
| 地月最远距离 || 406610千米
|-
| 地月最近距离 || 356330千米
|-
| 地月平均距离 || 384400千米
|}
</div>

背景资料介绍了无月球大气条件下依靠变推力发动机下降、100米处自主成像避障和4米处关机落月的过程，并提供近月轨道、落点区域及发动机布置示意图。

== 需要完成的任务 ==

# 确定准备轨道近月点、远月点的空间位置，以及探测器在这两点的速度大小和方向。
# 确定从近月点到月面的着陆轨道，并为软着陆各阶段设计最优控制策略，使关键状态得到满足且燃料消耗尽量小。
# 对所设计的轨道和控制策略开展误差分析与敏感性分析。

== 原题、附件与来源 ==

* [https://www.mcm.edu.cn/problem/2014/cumcm2014problems.rar 下载官方年度题目与附件包（RAR）]。A目录含原题、两份背景与阶段说明，以及2400米和100米高度对应的两幅TIF数字高程图。

来源：[https://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/93b5f5d9986693c2ebd67962cdc7d9df.html 全国大学生数学建模竞赛2014年官方发布页]。

[[分类:国赛赛题]]